Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1 - \cos^{4} (x)}{1 + \cos^{2} (x)}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - \cos^{4} (x)}{1 + \cos^{2} (x)}$

Этап 1.2

Перепишем $\cos^{4} (x)$ в виде ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {(\cos^{2} (x))}^{2}}{1 + \cos^{2} (x)}$

Этап 1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \cos^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (1 - \cos^{2} (x))}{1 + \cos^{2} (x)}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (1^{2} - \cos^{2} (x))}{1 + \cos^{2} (x)}$

Этап 1.4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{1 + \cos^{2} (x)}$

Этап 2

Сократим общий множитель $1 + \cos^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{1 + \cos^{2} (x)}$

Этап 2.2

Разделим $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ на $1$ .

$(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$

Этап 3

Развернем $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))$

Этап 4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))$

Этап 4.1.2

Умножим $- \cos (x)$ на $1$ .

$1 - \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))$

Этап 4.1.3

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$1 - \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x))$

Этап 4.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 - \cos (x) + \cos (x) - \cos (x) \cos (x)$

Этап 4.1.5

Умножим $- \cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$1 - \cos (x) + \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x))$

Этап 4.1.5.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$1 - \cos (x) + \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Этап 4.1.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}$

Этап 4.1.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$1 - \cos (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)$

Этап 4.2

Добавим $- \cos (x)$ и $\cos (x)$ .

$1 + 0 - \cos^{2} (x)$

Этап 4.3

Добавим $1$ и $0$ .

$1 - \cos^{2} (x)$

Этап 5

Применим формулу Пифагора.

$\sin^{2} (x)$