Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\frac{2 x^{2} - 11 x - 6}{x^{2} - 25}}{\frac{2 x^{2} + 13 x + 6}{x^{2} + x - 30}}$

Этап 1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{2 x^{2} - 11 x - 6}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x^{2} + x - 30}{2 x^{2} + 13 x + 6}$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 6 = - 12$ , а сумма — $b = - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $- 11$ из $- 11 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 11 (x) - 6}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x^{2} + x - 30}{2 x^{2} + 13 x + 6}$

Этап 2.1.2

Запишем $- 11$ как $1$ плюс $- 12$

$\frac{2 x^{2} + (1 - 12) x - 6}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x^{2} + x - 30}{2 x^{2} + 13 x + 6}$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} + 1 x - 12 x - 6}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x^{2} + x - 30}{2 x^{2} + 13 x + 6}$

Этап 2.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{2 x^{2} + x - 12 x - 6}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x^{2} + x - 30}{2 x^{2} + 13 x + 6}$

Этап 2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(2 x^{2} + x) - 12 x - 6}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x^{2} + x - 30}{2 x^{2} + 13 x + 6}$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (2 x + 1) - 6 (2 x + 1)}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x^{2} + x - 30}{2 x^{2} + 13 x + 6}$

Этап 2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 6)}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x^{2} + x - 30}{2 x^{2} + 13 x + 6}$

Этап 3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 6)}{x^{2} - 5^{2}} \cdot \frac{x^{2} + x - 30}{2 x^{2} + 13 x + 6}$

Этап 3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 6)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x^{2} + x - 30}{2 x^{2} + 13 x + 6}$

Этап 4

Разложим $x^{2} + x - 30$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 30$ , а сумма — $1$ .

$- 5, 6$

Этап 4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(2 x + 1) (x - 6)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x - 5) (x + 6)}{2 x^{2} + 13 x + 6}$

Этап 5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ , а сумма — $b = 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $13$ из $13 x$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 6)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x - 5) (x + 6)}{2 x^{2} + 13 (x) + 6}$

Этап 5.1.2

Запишем $13$ как $1$ плюс $12$

$\frac{(2 x + 1) (x - 6)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x - 5) (x + 6)}{2 x^{2} + (1 + 12) x + 6}$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x + 1) (x - 6)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x - 5) (x + 6)}{2 x^{2} + 1 x + 12 x + 6}$

Этап 5.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 6)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x - 5) (x + 6)}{2 x^{2} + x + 12 x + 6}$

Этап 5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(2 x + 1) (x - 6)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x - 5) (x + 6)}{(2 x^{2} + x) + 12 x + 6}$

Этап 5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(2 x + 1) (x - 6)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x - 5) (x + 6)}{x (2 x + 1) + 6 (2 x + 1)}$

Этап 5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 6)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x - 5) (x + 6)}{(2 x + 1) (x + 6)}$

Этап 6

Сократим общий множитель $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 x + 1) (x - 6)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x - 5) (x + 6)}{(2 x + 1) (x + 6)}$

Этап 6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x - 6}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 7

Сократим общий множитель $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $x - 5$ из $(x + 5) (x - 5)$ .

$\frac{x - 6}{(x - 5) (x + 5)} \cdot \frac{(x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x - 6}{(x - 5) (x + 5)} \cdot \frac{(x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x - 6}{x + 5} \cdot \frac{x + 6}{x + 6}$

Этап 8

Умножим $\frac{x - 6}{x + 5}$ на $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{(x - 6) (x + 6)}{(x + 5) (x + 6)}$

Этап 9

Сократим общий множитель $x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 6) (x + 6)}{(x + 5) (x + 6)}$

Этап 9.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x - 6}{x + 5}$