Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\frac{r}{s} + \frac{s}{r}}{\frac{r^{2}}{s^{2}} - \frac{s^{2}}{r^{2}}}$

Этап 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $r^{2} s^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $\frac{\frac{r}{s} + \frac{s}{r}}{\frac{r^{2}}{s^{2}} - \frac{s^{2}}{r^{2}}}$ на $\frac{r^{2} s^{2}}{r^{2} s^{2}}$ .

$\frac{r^{2} s^{2}}{r^{2} s^{2}} \cdot \frac{\frac{r}{s} + \frac{s}{r}}{\frac{r^{2}}{s^{2}} - \frac{s^{2}}{r^{2}}}$

Этап 1.2

Объединим.

$\frac{r^{2} s^{2} (\frac{r}{s} + \frac{s}{r})}{r^{2} s^{2} (\frac{r^{2}}{s^{2}} - \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Этап 2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{r^{2} s^{2} \frac{r}{s} + r^{2} s^{2} \frac{s}{r}}{r^{2} s^{2} \frac{r^{2}}{s^{2}} + r^{2} s^{2} (- \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Этап 3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $s$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $s$ из $r^{2} s^{2}$ .

$\frac{s (r^{2} s) \frac{r}{s} + r^{2} s^{2} \frac{s}{r}}{r^{2} s^{2} \frac{r^{2}}{s^{2}} + r^{2} s^{2} (- \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{s (r^{2} s) \frac{r}{s} + r^{2} s^{2} \frac{s}{r}}{r^{2} s^{2} \frac{r^{2}}{s^{2}} + r^{2} s^{2} (- \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{r^{2} s r + r^{2} s^{2} \frac{s}{r}}{r^{2} s^{2} \frac{r^{2}}{s^{2}} + r^{2} s^{2} (- \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Этап 3.2

Возведем $r$ в степень $1$ .

$\frac{r^{1} r^{2} s + r^{2} s^{2} \frac{s}{r}}{r^{2} s^{2} \frac{r^{2}}{s^{2}} + r^{2} s^{2} (- \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Этап 3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{r^{1 + 2} s + r^{2} s^{2} \frac{s}{r}}{r^{2} s^{2} \frac{r^{2}}{s^{2}} + r^{2} s^{2} (- \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Этап 3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{r^{3} s + r^{2} s^{2} \frac{s}{r}}{r^{2} s^{2} \frac{r^{2}}{s^{2}} + r^{2} s^{2} (- \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $r$ из $r^{2} s^{2}$ .

$\frac{r^{3} s + r (r s^{2}) \frac{s}{r}}{r^{2} s^{2} \frac{r^{2}}{s^{2}} + r^{2} s^{2} (- \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Этап 3.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{r^{3} s + r (r s^{2}) \frac{s}{r}}{r^{2} s^{2} \frac{r^{2}}{s^{2}} + r^{2} s^{2} (- \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Этап 3.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{r^{3} s + r s^{2} s}{r^{2} s^{2} \frac{r^{2}}{s^{2}} + r^{2} s^{2} (- \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Этап 3.6

Возведем $s$ в степень $1$ .

$\frac{r^{3} s + r (s^{1} s^{2})}{r^{2} s^{2} \frac{r^{2}}{s^{2}} + r^{2} s^{2} (- \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Этап 3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{r^{3} s + r s^{1 + 2}}{r^{2} s^{2} \frac{r^{2}}{s^{2}} + r^{2} s^{2} (- \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Этап 3.8

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{r^{3} s + r s^{3}}{r^{2} s^{2} \frac{r^{2}}{s^{2}} + r^{2} s^{2} (- \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Этап 3.9

Сократим общий множитель $s^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Вынесем множитель $s^{2}$ из $r^{2} s^{2}$ .

$\frac{r^{3} s + r s^{3}}{s^{2} r^{2} \frac{r^{2}}{s^{2}} + r^{2} s^{2} (- \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Этап 3.9.2

Сократим общий множитель.

$\frac{r^{3} s + r s^{3}}{s^{2} r^{2} \frac{r^{2}}{s^{2}} + r^{2} s^{2} (- \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Этап 3.9.3

Перепишем это выражение.

$\frac{r^{3} s + r s^{3}}{r^{2} r^{2} + r^{2} s^{2} (- \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Этап 3.10

Умножим $r^{2}$ на $r^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{r^{3} s + r s^{3}}{r^{2 + 2} + r^{2} s^{2} (- \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Этап 3.10.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{r^{3} s + r s^{3}}{r^{4} + r^{2} s^{2} (- \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Этап 3.11

Сократим общий множитель $r^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{s^{2}}{r^{2}}$ в числитель.

$\frac{r^{3} s + r s^{3}}{r^{4} + r^{2} s^{2} \frac{- s^{2}}{r^{2}}}$

Этап 3.11.2

Вынесем множитель $r^{2}$ из $r^{2} s^{2}$ .

$\frac{r^{3} s + r s^{3}}{r^{4} + r^{2} (s^{2}) \frac{- s^{2}}{r^{2}}}$

Этап 3.11.3

Сократим общий множитель.

$\frac{r^{3} s + r s^{3}}{r^{4} + r^{2} s^{2} \frac{- s^{2}}{r^{2}}}$

Этап 3.11.4

Перепишем это выражение.

$\frac{r^{3} s + r s^{3}}{r^{4} + s^{2} (- s^{2})}$

Этап 3.12

Умножим $s^{2}$ на $s^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Перенесем $s^{2}$ .

$\frac{r^{3} s + r s^{3}}{r^{4} + s^{2} s^{2} \cdot - 1}$

Этап 3.12.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{r^{3} s + r s^{3}}{r^{4} + s^{2 + 2} \cdot - 1}$

Этап 3.12.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{r^{3} s + r s^{3}}{r^{4} + s^{4} \cdot - 1}$

Этап 4

Вынесем множитель $r s$ из $r^{3} s + r s^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $r s$ из $r^{3} s$ .

$\frac{r s (r^{2}) + r s^{3}}{r^{4} + s^{4} \cdot - 1}$

Этап 4.2

Вынесем множитель $r s$ из $r s^{3}$ .

$\frac{r s (r^{2}) + r s (s^{2})}{r^{4} + s^{4} \cdot - 1}$

Этап 4.3

Вынесем множитель $r s$ из $r s (r^{2}) + r s (s^{2})$ .

$\frac{r s (r^{2} + s^{2})}{r^{4} + s^{4} \cdot - 1}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $r^{4}$ в виде ${(r^{2})}^{2}$ .

$\frac{r s (r^{2} + s^{2})}{{(r^{2})}^{2} + s^{4} \cdot - 1}$

Этап 5.2

Перепишем $s^{4}$ в виде ${(s^{2})}^{2}$ .

$\frac{r s (r^{2} + s^{2})}{{(r^{2})}^{2} - {(s^{2})}^{2}}$

Этап 5.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = r^{2}$ и $b = s^{2}$ .

$\frac{r s (r^{2} + s^{2})}{(r^{2} + s^{2}) (r^{2} - s^{2})}$

Этап 5.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = r$ и $b = s$ .

$\frac{r s (r^{2} + s^{2})}{(r^{2} + s^{2}) (r + s) (r - s)}$

Этап 6

Сократим общий множитель $r^{2} + s^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{r s (r^{2} + s^{2})}{(r^{2} + s^{2}) (r + s) (r - s)}$

Этап 6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{r s}{(r + s) (r - s)}$