Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\frac{1}{x + h + 3} - \frac{1}{x + 3}}{h}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{1}{x + h + 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{\frac{1}{x + h + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{1}{x + 3}}{h}$

Этап 1.2

Чтобы записать $- \frac{1}{x + 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + h + 3}{x + h + 3}$ .

$\frac{\frac{1}{x + h + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{1}{x + 3} \cdot \frac{x + h + 3}{x + h + 3}}{h}$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + h + 3) (x + 3)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{1}{x + h + 3}$ на $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{\frac{x + 3}{(x + h + 3) (x + 3)} - \frac{1}{x + 3} \cdot \frac{x + h + 3}{x + h + 3}}{h}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{1}{x + 3}$ на $\frac{x + h + 3}{x + h + 3}$ .

$\frac{\frac{x + 3}{(x + h + 3) (x + 3)} - \frac{x + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $(x + h + 3) (x + 3)$ .

$\frac{\frac{x + 3}{(x + 3) (x + h + 3)} - \frac{x + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{x + 3 - (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 1.5

Перепишем $\frac{x + 3 - (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{x + 3 - x - h - 1 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 1.5.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{\frac{x + 3 - x - h - 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 1.5.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{\frac{0 + 3 - h - 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 1.5.4

Добавим $0$ и $3$ .

$\frac{\frac{3 - h - 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 1.5.5

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{\frac{- h + 0}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 1.5.6

Добавим $- h$ и $0$ .

$\frac{\frac{- h}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{h}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Этап 2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{h}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{h}{(x + 3) (x + h + 3)}$ в числитель.

$\frac{- h}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 3.2

Вынесем множитель $h$ из $- h$ .

$\frac{h \cdot - 1}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{h \cdot - 1}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{(x + 3) (x + h + 3)}$

Этап 4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{(x + 3) (x + h + 3)}$