Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x}{x^{2} - 10 x + 25} - \frac{x - 4}{2 x - 10}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{x}{x^{2} - 10 x + 5^{2}} - \frac{x - 4}{2 x - 10}$

Этап 1.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Этап 1.1.3

Перепишем многочлен.

$\frac{x}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}} - \frac{x - 4}{2 x - 10}$

Этап 1.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$\frac{x}{{(x - 5)}^{2}} - \frac{x - 4}{2 x - 10}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{x}{{(x - 5)}^{2}} - \frac{x - 4}{2 (x) - 10}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 10$ .

$\frac{x}{{(x - 5)}^{2}} - \frac{x - 4}{2 x + 2 \cdot - 5}$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot - 5$ .

$\frac{x}{{(x - 5)}^{2}} - \frac{x - 4}{2 (x - 5)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{x}{{(x - 5)}^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x - 4}{2 (x - 5)}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{x - 4}{2 (x - 5)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{x}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x - 4}{2 (x - 5)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $2 {(x - 5)}^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{x}{{(x - 5)}^{2}}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x \cdot 2}{{(x - 5)}^{2} \cdot 2} - \frac{x - 4}{2 (x - 5)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{x - 4}{2 (x - 5)}$ на $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{x \cdot 2}{{(x - 5)}^{2} \cdot 2} - \frac{(x - 4) (x - 5)}{2 (x - 5) (x - 5)}$

Этап 4.3

Возведем $x - 5$ в степень $1$ .

$\frac{x \cdot 2}{{(x - 5)}^{2} \cdot 2} - \frac{(x - 4) (x - 5)}{2 ({(x - 5)}^{1} (x - 5))}$

Этап 4.4

Возведем $x - 5$ в степень $1$ .

$\frac{x \cdot 2}{{(x - 5)}^{2} \cdot 2} - \frac{(x - 4) (x - 5)}{2 ({(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1})}$

Этап 4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x \cdot 2}{{(x - 5)}^{2} \cdot 2} - \frac{(x - 4) (x - 5)}{2 {(x - 5)}^{1 + 1}}$

Этап 4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x \cdot 2}{{(x - 5)}^{2} \cdot 2} - \frac{(x - 4) (x - 5)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Этап 4.7

Изменим порядок множителей в ${(x - 5)}^{2} \cdot 2$ .

$\frac{x \cdot 2}{2 {(x - 5)}^{2}} - \frac{(x - 4) (x - 5)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x \cdot 2 - (x - 4) (x - 5)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{2 \cdot x - (x - 4) (x - 5)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x + (- x - - 4) (x - 5)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Этап 6.3

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{2 x + (- x + 4) (x - 5)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Этап 6.4

Развернем $(- x + 4) (x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x - x (x - 5) + 4 (x - 5)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Этап 6.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x - x \cdot x - x \cdot - 5 + 4 (x - 5)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Этап 6.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x - x \cdot x - x \cdot - 5 + 4 x + 4 \cdot - 5}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Этап 6.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x - (x \cdot x) - x \cdot - 5 + 4 x + 4 \cdot - 5}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Этап 6.5.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x - x^{2} - x \cdot - 5 + 4 x + 4 \cdot - 5}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Этап 6.5.1.2

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$\frac{2 x - x^{2} + 5 x + 4 x + 4 \cdot - 5}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Этап 6.5.1.3

Умножим $4$ на $- 5$ .

$\frac{2 x - x^{2} + 5 x + 4 x - 20}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Этап 6.5.2

Добавим $5 x$ и $4 x$ .

$\frac{2 x - x^{2} + 9 x - 20}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Этап 6.6

Добавим $2 x$ и $9 x$ .

$\frac{- x^{2} + 11 x - 20}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Этап 7

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 11 x - 20}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Этап 7.2

Вынесем множитель $- 1$ из $11 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (- 11 x) - 20}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Этап 7.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 11 x)$ .

$\frac{- (x^{2} - 11 x) - 20}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Этап 7.4

Перепишем $- 20$ в виде $- 1 (20)$ .

$\frac{- (x^{2} - 11 x) - 1 (20)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Этап 7.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - 11 x) - 1 (20)$ .

$\frac{- (x^{2} - 11 x + 20)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Этап 7.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Перепишем $- (x^{2} - 11 x + 20)$ в виде $- 1 (x^{2} - 11 x + 20)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 11 x + 20)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Этап 7.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{2} - 11 x + 20}{2 {(x - 5)}^{2}}$