Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x + h}{x + h + 2} - \frac{x}{x + 2}$

Этап 1

Чтобы записать $\frac{x + h}{x + h + 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x + h}{x + h + 2} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{x}{x + 2}$

Этап 2

Чтобы записать $- \frac{x}{x + 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + h + 2}{x + h + 2}$ .

$\frac{x + h}{x + h + 2} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{x}{x + 2} \cdot \frac{x + h + 2}{x + h + 2}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + h + 2) (x + 2)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{x + h}{x + h + 2}$ на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{(x + h) (x + 2)}{(x + h + 2) (x + 2)} - \frac{x}{x + 2} \cdot \frac{x + h + 2}{x + h + 2}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{x}{x + 2}$ на $\frac{x + h + 2}{x + h + 2}$ .

$\frac{(x + h) (x + 2)}{(x + h + 2) (x + 2)} - \frac{x (x + h + 2)}{(x + 2) (x + h + 2)}$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $(x + h + 2) (x + 2)$ .

$\frac{(x + h) (x + 2)}{(x + 2) (x + h + 2)} - \frac{x (x + h + 2)}{(x + 2) (x + h + 2)}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x + h) (x + 2) - x (x + h + 2)}{(x + 2) (x + h + 2)}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Развернем $(x + h) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x + 2) + h (x + 2) - x (x + h + 2)}{(x + 2) (x + h + 2)}$

Этап 5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 + h (x + 2) - x (x + h + 2)}{(x + 2) (x + h + 2)}$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 + h x + h \cdot 2 - x (x + h + 2)}{(x + 2) (x + h + 2)}$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 2 + h x + h \cdot 2 - x (x + h + 2)}{(x + 2) (x + h + 2)}$

Этап 5.2.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x + h x + h \cdot 2 - x (x + h + 2)}{(x + 2) (x + h + 2)}$

Этап 5.2.3

Перенесем $2$ влево от $h$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + h x + 2 h - x (x + h + 2)}{(x + 2) (x + h + 2)}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + 2 x + h x + 2 h - x \cdot x - x h - x \cdot 2}{(x + 2) (x + h + 2)}$

Этап 5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + h x + 2 h - (x \cdot x) - x h - x \cdot 2}{(x + 2) (x + h + 2)}$

Этап 5.4.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + h x + 2 h - x^{2} - x h - x \cdot 2}{(x + 2) (x + h + 2)}$

Этап 5.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + h x + 2 h - x^{2} - x h - 2 x}{(x + 2) (x + h + 2)}$

Этап 5.5

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{2 x + h x + 2 h + 0 - x h - 2 x}{(x + 2) (x + h + 2)}$

Этап 5.6

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{h x + 2 h + 2 x - x h - 2 x}{(x + 2) (x + h + 2)}$

Этап 5.7

Вычтем $x h$ из $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 h + 2 x + h x - h x - 2 x}{(x + 2) (x + h + 2)}$

Этап 5.7.2

Вычтем $h x$ из $h x$ .

$\frac{2 h + 2 x + 0 - 2 x}{(x + 2) (x + h + 2)}$

Этап 5.8

Добавим $2 h$ и $0$ .

$\frac{2 h + 2 x - 2 x}{(x + 2) (x + h + 2)}$

Этап 5.9

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$\frac{2 h + 0}{(x + 2) (x + h + 2)}$

Этап 5.10

Добавим $2 h$ и $0$ .

$\frac{2 h}{(x + 2) (x + h + 2)}$