Основы мат. анализа Примеры

$3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + 6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - 9 {(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + 6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - 9 \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2

Объединим $- 9$ и $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + 6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 9}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + 6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{9}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Чтобы записать $3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{9}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - 9}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 ({(x - 1)}^{\frac{3}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) - 9}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 9$ .

$6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 ({(x - 1)}^{\frac{3}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) + 3 \cdot - 3}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 ({(x - 1)}^{\frac{3}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) + 3 \cdot - 3$ .

$6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 ({(x - 1)}^{\frac{3}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2

Умножим ${(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ на ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 ({(x - 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}} - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 ({(x - 1)}^{\frac{3 + 1}{2}} - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2.3

Добавим $3$ и $1$ .

$6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 ({(x - 1)}^{\frac{4}{2}} - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2.4

Разделим $4$ на $2$ .

$6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 ({(x - 1)}^{2} - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.3

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 ((x - 1) (x - 1) - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.4

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (x (x - 1) - 1 (x - 1) - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.5.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.5.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.5.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.5.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (x^{2} - x - x + 1 - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.5.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (x^{2} - 2 x + 1 - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.6

Вычтем $3$ из $1$ .

$6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (x^{2} - 2 x - 2)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Чтобы записать $6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 (x^{2} - 2 x - 2)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} + 3 (x^{2} - 2 x - 2)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $3$ из $6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} + 3 (x^{2} - 2 x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) + 3 (x^{2} - 2 x - 2)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) + 3 (x^{2} - 2 x - 2)$ .

$\frac{3 (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} + x^{2} - 2 x - 2)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.2

Умножим ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перенесем ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (2 ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) + x^{2} - 2 x - 2)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{2} - 2 x - 2)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 (2 {(x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{2} - 2 x - 2)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 (2 {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} + x^{2} - 2 x - 2)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.2.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{3 (2 {(x - 1)}^{1} + x^{2} - 2 x - 2)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.3

Упростим $2 {(x - 1)}^{1}$ .

$\frac{3 (2 (x - 1) + x^{2} - 2 x - 2)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (2 x + 2 \cdot - 1 + x^{2} - 2 x - 2)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{3 (2 x - 2 + x^{2} - 2 x - 2)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.6

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$\frac{3 (- 2 + x^{2} + 0 - 2)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.7

Добавим $- 2$ и $0$ .

$\frac{3 (x^{2} - 2 - 2)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.8

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$\frac{3 (x^{2} - 4)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.9

Перепишем $x^{2} - 4$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} - 2^{2})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.9.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{3 ((x + 2) (x - 2))}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

$\frac{3 (x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$