Основы мат. анализа Примеры

$2 \cos (\frac{π}{8}) - 1$

Этап 1

Точное значение $\cos (\frac{π}{8})$ : $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Представим $\frac{π}{8}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$2 \cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) - 1$

Этап 1.2

Применим формулу половинного угла для косинуса $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$2 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}) - 1$

Этап 1.3

Заменим $\pm$ на $+$ , поскольку косинус принимает положительные значения в первом квадранте.

$2 \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} - 1$

Этап 1.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} - 1$

Этап 1.5

Упростим $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$2 \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} - 1$

Этап 1.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} - 1$

Этап 1.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} - 1$

Этап 1.5.4

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} - 1$

Этап 1.5.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} - 1$

Этап 1.5.5

Перепишем $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} - 1$

Этап 1.5.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} - 1$

Этап 1.5.6.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - 1$

Этап 2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - 1$

Этап 2.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{2 + \sqrt{2}} - 1$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\sqrt{2 + \sqrt{2}} - 1$

Десятичная форма:

$0.84775906 \dots$