Основы мат. анализа Примеры

$4^{x - x^{2}} = \frac{1}{2}$

Этап 1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$4^{x - x^{2}} = \frac{1}{2^{1}}$

Этап 2

Перенесем $2^{1}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$4^{x - x^{2}} = 2^{- 1}$

Этап 3

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$2^{2 (x - x^{2})} = 2^{- 1}$

Этап 4

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$2 (x - x^{2}) = - 1$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $2 (x - x^{2}) = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Разделим каждый член $2 (x - x^{2}) = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 (x - x^{2})}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 5.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x - x^{2})}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 5.1.2.1.2

Разделим $x - x^{2}$ на $1$ .

$x - x^{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 5.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x - x^{2} = - \frac{1}{2}$

Этап 5.2

Добавим $\frac{1}{2}$ к обеим частям уравнения.

$x - x^{2} + \frac{1}{2} = 0$

Этап 5.3

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $2$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 2 (- x^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) = 0$

Этап 5.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 x - 2 x^{2} + 2 (\frac{1}{2}) = 0$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$2 x - 2 x^{2} + 2 (\frac{1}{2}) = 0$

Этап 5.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$2 x - 2 x^{2} + 1 = 0$

Этап 5.3.3

Изменим порядок $2 x$ и $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Этап 5.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.5

Подставим значения $a = - 2$ , $b = 2$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 1)}}{2 \cdot - 2}$

Этап 5.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Этап 5.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Этап 5.6.1.2.2

Умножим $8$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot - 2}$

Этап 5.6.1.3

Добавим $4$ и $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot - 2}$

Этап 5.6.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot - 2}$

Этап 5.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot - 2}$

Этап 5.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot - 2}$

Этап 5.6.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{- 4}$

Этап 5.6.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{- 4}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Десятичная форма:

$x = 1.36602540 \dots, - 0.36602540 \dots$