Основы мат. анализа Примеры

$49^{x} - 6 \cdot 7^{x} = - 9$

Этап 1

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$49^{x} - 6 \cdot 7^{x} + 9 = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $49^{x}$ в виде ${(7^{2})}^{x}$ .

${(7^{2})}^{x} - 6 \cdot 7^{x} + 9 = 0$

Этап 2.2

Перепишем ${(7^{2})}^{x}$ в виде ${(7^{x})}^{2}$ .

${(7^{x})}^{2} - 6 \cdot 7^{x} + 9 = 0$

Этап 2.3

Пусть $u = 7^{x}$ . Подставим $u$ вместо $7^{x}$ для всех.

$u^{2} - 6 u + 9 = 0$

Этап 2.4

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$u^{2} - 6 u + 3^{2} = 0$

Этап 2.4.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Этап 2.4.3

Перепишем многочлен.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Этап 2.4.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 3$ .

${(u - 3)}^{2} = 0$

Этап 2.5

Заменим все вхождения $u$ на $7^{x}$ .

${(7^{x} - 3)}^{2} = 0$

Этап 3

Приравняем $7^{x} - 3$ к $0$ .

$7^{x} - 3 = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$7^{x} = 3$

Этап 4.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (7^{x}) = \ln (3)$

Этап 4.3

Развернем $\ln (7^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (7) = \ln (3)$

Этап 4.4

Разделим каждый член $x \ln (7) = \ln (3)$ на $\ln (7)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Разделим каждый член $x \ln (7) = \ln (3)$ на $\ln (7)$ .

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (3)}{\ln (7)}$

Этап 4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Сократим общий множитель $\ln (7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (3)}{\ln (7)}$

Этап 4.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (7)}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (7)}$

Десятичная форма:

$x = 0.56457503 \dots$