Основы мат. анализа Примеры

$- \frac{4}{x - 1} = \frac{7}{2 - x} + \frac{3}{x + 1}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 1, 2 - x, x + 1$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множителем $2 - x$ является само значение $2 - x$ .

$(2 - x) = 2 - x$

$(2 - x)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

Множителем $x + 1$ является само значение $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.8

НОК $x - 1, 2 - x, x + 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x - 1) (2 - x) (x + 1)$

Этап 2

Каждый член в $- \frac{4}{x - 1} = \frac{7}{2 - x} + \frac{3}{x + 1}$ умножим на $(x - 1) (2 - x) (x + 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $- \frac{4}{x - 1} = \frac{7}{2 - x} + \frac{3}{x + 1}$ на $(x - 1) (2 - x) (x + 1)$ .

$- \frac{4}{x - 1} ((x - 1) (2 - x) (x + 1)) = \frac{7}{2 - x} ((x - 1) (2 - x) (x + 1)) + \frac{3}{x + 1} ((x - 1) (2 - x) (x + 1))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{x - 1}$ в числитель.

$\frac{- 4}{x - 1} ((x - 1) (2 - x) (x + 1)) = \frac{7}{2 - x} ((x - 1) (2 - x) (x + 1)) + \frac{3}{x + 1} ((x - 1) (2 - x) (x + 1))$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $x - 1$ из $(x - 1) (2 - x) (x + 1)$ .

$\frac{- 4}{x - 1} ((x - 1) ((2 - x) (x + 1))) = \frac{7}{2 - x} ((x - 1) (2 - x) (x + 1)) + \frac{3}{x + 1} ((x - 1) (2 - x) (x + 1))$

Этап 2.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4}{x - 1} ((x - 1) ((2 - x) (x + 1))) = \frac{7}{2 - x} ((x - 1) (2 - x) (x + 1)) + \frac{3}{x + 1} ((x - 1) (2 - x) (x + 1))$

Этап 2.2.1.4

Перепишем это выражение.

$- 4 ((2 - x) (x + 1)) = \frac{7}{2 - x} ((x - 1) (2 - x) (x + 1)) + \frac{3}{x + 1} ((x - 1) (2 - x) (x + 1))$

Этап 2.2.2

Развернем $(2 - x) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 (2 (x + 1) - x (x + 1)) = \frac{7}{2 - x} ((x - 1) (2 - x) (x + 1)) + \frac{3}{x + 1} ((x - 1) (2 - x) (x + 1))$

Этап 2.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 (2 x + 2 \cdot 1 - x (x + 1)) = \frac{7}{2 - x} ((x - 1) (2 - x) (x + 1)) + \frac{3}{x + 1} ((x - 1) (2 - x) (x + 1))$

Этап 2.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 (2 x + 2 \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot 1) = \frac{7}{2 - x} ((x - 1) (2 - x) (x + 1)) + \frac{3}{x + 1} ((x - 1) (2 - x) (x + 1))$

Этап 2.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$- 4 (2 x + 2 - x \cdot x - x \cdot 1) = \frac{7}{2 - x} ((x - 1) (2 - x) (x + 1)) + \frac{3}{x + 1} ((x - 1) (2 - x) (x + 1))$

Этап 2.2.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$- 4 (2 x + 2 - (x \cdot x) - x \cdot 1) = \frac{7}{2 - x} ((x - 1) (2 - x) (x + 1)) + \frac{3}{x + 1} ((x - 1) (2 - x) (x + 1))$

Этап 2.2.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- 4 (2 x + 2 - x^{2} - x \cdot 1) = \frac{7}{2 - x} ((x - 1) (2 - x) (x + 1)) + \frac{3}{x + 1} ((x - 1) (2 - x) (x + 1))$

Этап 2.2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 4 (2 x + 2 - x^{2} - x) = \frac{7}{2 - x} ((x - 1) (2 - x) (x + 1)) + \frac{3}{x + 1} ((x - 1) (2 - x) (x + 1))$

Этап 2.2.3.2

Вычтем $x$ из $2 x$ .

$- 4 (x + 2 - x^{2}) = \frac{7}{2 - x} ((x - 1) (2 - x) (x + 1)) + \frac{3}{x + 1} ((x - 1) (2 - x) (x + 1))$

Этап 2.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 x - 4 \cdot 2 - 4 (- x^{2}) = \frac{7}{2 - x} ((x - 1) (2 - x) (x + 1)) + \frac{3}{x + 1} ((x - 1) (2 - x) (x + 1))$

Этап 2.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$- 4 x - 8 - 4 (- x^{2}) = \frac{7}{2 - x} ((x - 1) (2 - x) (x + 1)) + \frac{3}{x + 1} ((x - 1) (2 - x) (x + 1))$

Этап 2.2.5.2

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$- 4 x - 8 + 4 x^{2} = \frac{7}{2 - x} ((x - 1) (2 - x) (x + 1)) + \frac{3}{x + 1} ((x - 1) (2 - x) (x + 1))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель $2 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Вынесем множитель $2 - x$ из $(x - 1) (2 - x) (x + 1)$ .

$- 4 x - 8 + 4 x^{2} = \frac{7}{2 - x} ((2 - x) ((x - 1) (x + 1))) + \frac{3}{x + 1} ((x - 1) (2 - x) (x + 1))$

Этап 2.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$- 4 x - 8 + 4 x^{2} = \frac{7}{2 - x} ((2 - x) ((x - 1) (x + 1))) + \frac{3}{x + 1} ((x - 1) (2 - x) (x + 1))$

Этап 2.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$- 4 x - 8 + 4 x^{2} = 7 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{3}{x + 1} ((x - 1) (2 - x) (x + 1))$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(x - 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 x - 8 + 4 x^{2} = 7 (x (x + 1) - 1 (x + 1)) + \frac{3}{x + 1} ((x - 1) (2 - x) (x + 1))$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 x - 8 + 4 x^{2} = 7 (x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x + 1)) + \frac{3}{x + 1} ((x - 1) (2 - x) (x + 1))$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 x - 8 + 4 x^{2} = 7 (x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1) + \frac{3}{x + 1} ((x - 1) (2 - x) (x + 1))$

Этап 2.3.1.3

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot 1$ и $- 1 x$ .

$- 4 x - 8 + 4 x^{2} = 7 (x \cdot x + 1 x - 1 x - 1 \cdot 1) + \frac{3}{x + 1} ((x - 1) (2 - x) (x + 1))$

Этап 2.3.1.3.2

Вычтем $1 x$ из $1 x$ .

$- 4 x - 8 + 4 x^{2} = 7 (x \cdot x + 0 - 1 \cdot 1) + \frac{3}{x + 1} ((x - 1) (2 - x) (x + 1))$

Этап 2.3.1.3.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$- 4 x - 8 + 4 x^{2} = 7 (x \cdot x - 1 \cdot 1) + \frac{3}{x + 1} ((x - 1) (2 - x) (x + 1))$

Этап 2.3.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- 4 x - 8 + 4 x^{2} = 7 (x^{2} - 1 \cdot 1) + \frac{3}{x + 1} ((x - 1) (2 - x) (x + 1))$

Этап 2.3.1.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 4 x - 8 + 4 x^{2} = 7 (x^{2} - 1) + \frac{3}{x + 1} ((x - 1) (2 - x) (x + 1))$

Этап 2.3.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 x - 8 + 4 x^{2} = 7 x^{2} + 7 \cdot - 1 + \frac{3}{x + 1} ((x - 1) (2 - x) (x + 1))$

Этап 2.3.1.6

Умножим $7$ на $- 1$ .

$- 4 x - 8 + 4 x^{2} = 7 x^{2} - 7 + \frac{3}{x + 1} ((x - 1) (2 - x) (x + 1))$

Этап 2.3.1.7

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.7.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $(x - 1) (2 - x) (x + 1)$ .

$- 4 x - 8 + 4 x^{2} = 7 x^{2} - 7 + \frac{3}{x + 1} ((x + 1) ((x - 1) (2 - x)))$

Этап 2.3.1.7.2

Сократим общий множитель.

$- 4 x - 8 + 4 x^{2} = 7 x^{2} - 7 + \frac{3}{x + 1} ((x + 1) ((x - 1) (2 - x)))$

Этап 2.3.1.7.3

Перепишем это выражение.

$- 4 x - 8 + 4 x^{2} = 7 x^{2} - 7 + 3 ((x - 1) (2 - x))$

Этап 2.3.1.8

Развернем $(x - 1) (2 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 x - 8 + 4 x^{2} = 7 x^{2} - 7 + 3 (x (2 - x) - 1 (2 - x))$

Этап 2.3.1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 x - 8 + 4 x^{2} = 7 x^{2} - 7 + 3 (x \cdot 2 + x (- x) - 1 (2 - x))$

Этап 2.3.1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 x - 8 + 4 x^{2} = 7 x^{2} - 7 + 3 (x \cdot 2 + x (- x) - 1 \cdot 2 - 1 (- x))$

Этап 2.3.1.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.9.1.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$- 4 x - 8 + 4 x^{2} = 7 x^{2} - 7 + 3 (2 \cdot x + x (- x) - 1 \cdot 2 - 1 (- x))$

Этап 2.3.1.9.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 4 x - 8 + 4 x^{2} = 7 x^{2} - 7 + 3 (2 x - x \cdot x - 1 \cdot 2 - 1 (- x))$

Этап 2.3.1.9.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.9.1.3.1

Перенесем $x$ .

$- 4 x - 8 + 4 x^{2} = 7 x^{2} - 7 + 3 (2 x - (x \cdot x) - 1 \cdot 2 - 1 (- x))$

Этап 2.3.1.9.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- 4 x - 8 + 4 x^{2} = 7 x^{2} - 7 + 3 (2 x - x^{2} - 1 \cdot 2 - 1 (- x))$

Этап 2.3.1.9.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 4 x - 8 + 4 x^{2} = 7 x^{2} - 7 + 3 (2 x - x^{2} - 2 - 1 (- x))$

Этап 2.3.1.9.1.5

Умножим $- 1 (- x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.9.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 4 x - 8 + 4 x^{2} = 7 x^{2} - 7 + 3 (2 x - x^{2} - 2 + 1 x)$

Этап 2.3.1.9.1.5.2

Умножим $x$ на $1$ .

$- 4 x - 8 + 4 x^{2} = 7 x^{2} - 7 + 3 (2 x - x^{2} - 2 + x)$

Этап 2.3.1.9.2

Добавим $2 x$ и $x$ .

$- 4 x - 8 + 4 x^{2} = 7 x^{2} - 7 + 3 (3 x - x^{2} - 2)$

Этап 2.3.1.10

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 x - 8 + 4 x^{2} = 7 x^{2} - 7 + 3 (3 x) + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot - 2$

Этап 2.3.1.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.11.1

Умножим $3$ на $3$ .

$- 4 x - 8 + 4 x^{2} = 7 x^{2} - 7 + 9 x + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot - 2$

Этап 2.3.1.11.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 4 x - 8 + 4 x^{2} = 7 x^{2} - 7 + 9 x - 3 x^{2} + 3 \cdot - 2$

Этап 2.3.1.11.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$- 4 x - 8 + 4 x^{2} = 7 x^{2} - 7 + 9 x - 3 x^{2} - 6$

Этап 2.3.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $3 x^{2}$ из $7 x^{2}$ .

$- 4 x - 8 + 4 x^{2} = 4 x^{2} - 7 + 9 x - 6$

Этап 2.3.2.2

Вычтем $6$ из $- 7$ .

$- 4 x - 8 + 4 x^{2} = 4 x^{2} + 9 x - 13$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $4 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x - 8 + 4 x^{2} - 4 x^{2} = 9 x - 13$

Этап 3.1.2

Вычтем $9 x$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x - 8 + 4 x^{2} - 4 x^{2} - 9 x = - 13$

Этап 3.1.3

Объединим противоположные члены в $- 4 x - 8 + 4 x^{2} - 4 x^{2} - 9 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Вычтем $4 x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$- 4 x - 8 + 0 - 9 x = - 13$

Этап 3.1.3.2

Добавим $- 4 x - 8$ и $0$ .

$- 4 x - 8 - 9 x = - 13$

Этап 3.1.4

Вычтем $9 x$ из $- 4 x$ .

$- 13 x - 8 = - 13$

Этап 3.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$- 13 x = - 13 + 8$

Этап 3.2.2

Добавим $- 13$ и $8$ .

$- 13 x = - 5$

Этап 3.3

Разделим каждый член $- 13 x = - 5$ на $- 13$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $- 13 x = - 5$ на $- 13$ .

$\frac{- 13 x}{- 13} = \frac{- 5}{- 13}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 13 x}{- 13} = \frac{- 5}{- 13}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 13}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{5}{13}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{5}{13}$

Десятичная форма:

$x = 0.\overline{384615}$