Основы мат. анализа Примеры

$4^{2 x + 1} - 17 \cdot 4^{x} + 4 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $4^{2 x + 1}$ в виде $4^{2 x} \cdot 4^{1}$ .

$4^{2 x} \cdot 4 - 17 \cdot 4^{x} + 4 = 0$

Этап 1.2

Перепишем $4^{2 x}$ в виде ${(4^{x})}^{2}$ .

${(4^{x})}^{2} \cdot 4 - 17 \cdot 4^{x} + 4 = 0$

Этап 1.3

Пусть $u = 4^{x}$ . Подставим $u$ вместо $4^{x}$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Найдем экспоненту.

$u^{2} \cdot 4 - 17 \cdot u + 4 = 0$

Этап 1.3.2

Перенесем $4$ влево от $u^{2}$ .

$4 u^{2} - 17 u + 4 = 0$

Этап 1.4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 4 = 16$ , а сумма — $b = - 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Вынесем множитель $- 17$ из $- 17 u$ .

$4 u^{2} - 17 u + 4 = 0$

Этап 1.4.1.2

Запишем $- 17$ как $- 1$ плюс $- 16$

$4 u^{2} + (- 1 - 16) u + 4 = 0$

Этап 1.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 u^{2} - 1 u - 16 u + 4 = 0$

Этап 1.4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(4 u^{2} - 1 u) - 16 u + 4 = 0$

Этап 1.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (4 u - 1) - 4 (4 u - 1) = 0$

Этап 1.4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 4) = 0$

Этап 1.5

Заменим все вхождения $u$ на $4^{x}$ .

$(4 \cdot 4^{x} - 1) (4^{x} - 4) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 \cdot 4^{x} - 1 = 0$

$4^{x} - 4 = 0$

Этап 3

Приравняем $4 \cdot 4^{x} - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $4 \cdot 4^{x} - 1$ к $0$ .

$4 \cdot 4^{x} - 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $4 \cdot 4^{x} - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $4$ на $4^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возведем $4$ в степень $1$ .

$4^{1} \cdot 4^{x} - 1 = 0$

Этап 3.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4^{1 + x} - 1 = 0$

Этап 3.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$4^{1 + x} = 1$

Этап 3.2.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (4^{1 + x}) = \ln (1)$

Этап 3.2.4

Развернем $\ln (4^{1 + x})$ , вынося $1 + x$ из логарифма.

$(1 + x) \ln (4) = \ln (1)$

Этап 3.2.5

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Упростим $(1 + x) \ln (4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \ln (4) + x \ln (4) = \ln (1)$

Этап 3.2.5.1.2

Умножим $\ln (4)$ на $1$ .

$\ln (4) + x \ln (4) = \ln (1)$

Этап 3.2.6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\ln (4) + x \ln (4) = 0$

Этап 3.2.7

Изменим порядок $\ln (4)$ и $x \ln (4)$ .

$x \ln (4) + \ln (4) = 0$

Этап 3.2.8

Вычтем $\ln (4)$ из обеих частей уравнения.

$x \ln (4) = - \ln (4)$

Этап 3.2.9

Разделим каждый член $x \ln (4) = - \ln (4)$ на $\ln (4)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.1

Разделим каждый член $x \ln (4) = - \ln (4)$ на $\ln (4)$ .

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{- \ln (4)}{\ln (4)}$

Этап 3.2.9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.2.1

Сократим общий множитель $\ln (4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{- \ln (4)}{\ln (4)}$

Этап 3.2.9.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \ln (4)}{\ln (4)}$

Этап 3.2.9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.3.1

Сократим общий множитель $\ln (4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{- \ln (4)}{\ln (4)}$

Этап 3.2.9.3.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$x = - 1$

Этап 4

Приравняем $4^{x} - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $4^{x} - 4$ к $0$ .

$4^{x} - 4 = 0$

Этап 4.2

Решим $4^{x} - 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$4^{x} = 4$

Этап 4.2.2

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$4^{x} = 4^{1}$

Этап 4.2.3

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = 1$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 \cdot 4^{x} - 1) (4^{x} - 4) = 0$ верно.

$x = - 1, 1$