Основы мат. анализа Примеры

$4^{2 x} - 5 \cdot 4^{x + \frac{1}{2}} + 16 = 0$

Этап 1

Перепишем $4^{x + \frac{1}{2}}$ в виде $4^{x} \cdot 4^{\frac{1}{2}}$ .

$4^{2 x} - 5 \cdot (4^{x} \cdot 4^{\frac{1}{2}}) + 16 = 0$

Этап 2

Перепишем $4^{2 x}$ в виде степенного выражения.

${(4^{x})}^{2} - 5 \cdot (4^{x} \cdot 4^{\frac{1}{2}}) + 16 = 0$

Этап 3

Избавимся от скобок.

${(4^{x})}^{2} - 5 \cdot 4^{x} \cdot 4^{\frac{1}{2}} + 16 = 0$

Этап 4

Подставим $u$ вместо $4^{x}$ .

$u^{2} - 5 \cdot u \cdot 4^{\frac{1}{2}} + 16 = 0$

Этап 5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u^{2} - 5 u \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} + 16 = 0$

Этап 5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{2} - 5 u \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} + 16 = 0$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель.

$u^{2} - 5 u \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} + 16 = 0$

Этап 5.3.2

Перепишем это выражение.

$u^{2} - 5 u \cdot 2 + 16 = 0$

Этап 5.4

Найдем экспоненту.

$u^{2} - 5 u \cdot 2 + 16 = 0$

Этап 5.5

Умножим $2$ на $- 5$ .

$u^{2} - 10 u + 16 = 0$

Этап 6

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разложим $u^{2} - 10 u + 16$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $16$ , а сумма — $- 10$ .

$- 8, - 2$

Этап 6.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 8) (u - 2) = 0$

Этап 6.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 8 = 0$

$u - 2 = 0$

Этап 6.3

Приравняем $u - 8$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Приравняем $u - 8$ к $0$ .

$u - 8 = 0$

Этап 6.3.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$u = 8$

Этап 6.4

Приравняем $u - 2$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $u - 2$ к $0$ .

$u - 2 = 0$

Этап 6.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$u = 2$

Этап 6.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 8) (u - 2) = 0$ верно.

$u = 8, 2$

Этап 7

Подставим $8$ вместо $u$ в $u = 4^{x}$ .

$8 = 4^{x}$

Этап 8

Решим $8 = 4^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем уравнение в виде $4^{x} = 8$ .

$4^{x} = 8$

Этап 8.2

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$2^{2 x} = 2^{3}$

Этап 8.3

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$2 x = 3$

Этап 8.4

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 8.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 8.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Этап 9

Подставим $2$ вместо $u$ в $u = 4^{x}$ .

$2 = 4^{x}$

Этап 10

Решим $2 = 4^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем уравнение в виде $4^{x} = 2$ .

$4^{x} = 2$

Этап 10.2

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$2^{2 x} = 2^{1}$

Этап 10.3

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$2 x = 1$

Этап 10.4

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 10.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 10.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 11

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = \frac{3}{2}, \frac{1}{2}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{3}{2}, \frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$x = 1.5, 0.5$

Форма смешанных чисел:

$x = 1 \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$