Основы мат. анализа Примеры

$3^{5 x} \cdot 9^{x^{2}} = 27$

Этап 1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$3^{5 x} \cdot {(3^{2})}^{x^{2}} = 27$

Этап 2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{5 x} \cdot 3^{2 x^{2}} = 27$

Этап 3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3^{5 x + 2 x^{2}} = 27$

Этап 4

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$3^{5 x + 2 x^{2}} = 3^{3}$

Этап 5

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$5 x + 2 x^{2} = 3$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$5 x + 2 x^{2} - 3 = 0$

Этап 6.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$5 u + 2 u^{2} - 3 = 0$

Этап 6.2.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Изменим порядок членов.

$2 u^{2} + 5 u - 3 = 0$

Этап 6.2.2.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ , а сумма — $b = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 u$ .

$2 u^{2} + 5 (u) - 3 = 0$

Этап 6.2.2.2.2

Запишем $5$ как $- 1$ плюс $6$

$2 u^{2} + (- 1 + 6) u - 3 = 0$

Этап 6.2.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 u^{2} - 1 u + 6 u - 3 = 0$

Этап 6.2.2.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 u^{2} - 1 u) + 6 u - 3 = 0$

Этап 6.2.2.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (2 u - 1) + 3 (2 u - 1) = 0$

Этап 6.2.2.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 3) = 0$

Этап 6.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(2 x - 1) (x + 3) = 0$

Этап 6.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 6.4

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 6.4.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 6.4.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 6.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 6.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 6.5

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 6.5.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 6.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x - 1) (x + 3) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{2}, - 3$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{1}{2}, - 3$

Десятичная форма:

$x = 0.5, - 3$