Основы мат. анализа Примеры

$3^{2 x} - 3^{x} - 6 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $3^{2 x}$ в виде ${(3^{x})}^{2}$ .

${(3^{x})}^{2} - 3^{x} - 6 = 0$

Этап 1.2

Пусть $u = 3^{x}$ . Подставим $u$ вместо $3^{x}$ для всех.

$u^{2} - u - 6 = 0$

Этап 1.3

Разложим $u^{2} - u - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $- 1$ .

$- 3, 2$

Этап 1.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 3) (u + 2) = 0$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $u$ на $3^{x}$ .

$(3^{x} - 3) (3^{x} + 2) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3^{x} - 3 = 0$

$3^{x} + 2 = 0$

Этап 3

Приравняем $3^{x} - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $3^{x} - 3$ к $0$ .

$3^{x} - 3 = 0$

Этап 3.2

Решим $3^{x} - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$3^{x} = 3$

Этап 3.2.2

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$3^{x} = 3^{1}$

Этап 3.2.3

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = 1$

Этап 4

Приравняем $3^{x} + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $3^{x} + 2$ к $0$ .

$3^{x} + 2 = 0$

Этап 4.2

Решим $3^{x} + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$3^{x} = - 2$

Этап 4.2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (3^{x}) = \ln (- 2)$

Этап 4.2.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (- 2)$ не определено.

Неопределенные

Этап 4.2.4

Нет решения для $3^{x} = - 2$

Нет решения

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3^{x} - 3) (3^{x} + 2) = 0$ верно.

$x = 1$