Основы мат. анализа Примеры

$3^{2 x} + 35 = 12 (3^{x})$

Этап 1

Вычтем $12 \cdot 3^{x}$ из обеих частей уравнения.

$3^{2 x} + 35 - 12 \cdot 3^{x} = 0$

Этап 2

Перепишем $3^{2 x}$ в виде степенного выражения.

${(3^{x})}^{2} + 35 - 12 \cdot 3^{x} = 0$

Этап 3

Подставим $u$ вместо $3^{x}$ .

$u^{2} + 35 - 12 u = 0$

Этап 4

Перенесем $35$ .

$u^{2} - 12 u + 35 = 0$

Этап 5

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разложим $u^{2} - 12 u + 35$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $35$ , а сумма — $- 12$ .

$- 7, - 5$

Этап 5.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 7) (u - 5) = 0$

Этап 5.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 7 = 0$

$u - 5 = 0$

Этап 5.3

Приравняем $u - 7$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Приравняем $u - 7$ к $0$ .

$u - 7 = 0$

Этап 5.3.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$u = 7$

Этап 5.4

Приравняем $u - 5$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $u - 5$ к $0$ .

$u - 5 = 0$

Этап 5.4.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$u = 5$

Этап 5.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 7) (u - 5) = 0$ верно.

$u = 7, 5$

Этап 6

Подставим $7$ вместо $u$ в $u = 3^{x}$ .

$7 = 3^{x}$

Этап 7

Решим $7 = 3^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем уравнение в виде $3^{x} = 7$ .

$3^{x} = 7$

Этап 7.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (3^{x}) = \ln (7)$

Этап 7.3

Развернем $\ln (3^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (3) = \ln (7)$

Этап 7.4

Разделим каждый член $x \ln (3) = \ln (7)$ на $\ln (3)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Разделим каждый член $x \ln (3) = \ln (7)$ на $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (7)}{\ln (3)}$

Этап 7.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Сократим общий множитель $\ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (7)}{\ln (3)}$

Этап 7.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (3)}$

Этап 8

Подставим $5$ вместо $u$ в $u = 3^{x}$ .

$5 = 3^{x}$

Этап 9

Решим $5 = 3^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем уравнение в виде $3^{x} = 5$ .

$3^{x} = 5$

Этап 9.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (3^{x}) = \ln (5)$

Этап 9.3

Развернем $\ln (3^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (3) = \ln (5)$

Этап 9.4

Разделим каждый член $x \ln (3) = \ln (5)$ на $\ln (3)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Разделим каждый член $x \ln (3) = \ln (5)$ на $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

Этап 9.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1

Сократим общий множитель $\ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

Этап 9.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

Этап 10

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (3)}, \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (3)}, \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

Десятичная форма:

$x = 1.77124374 \dots, 1.46497352 \dots$