Основы мат. анализа Примеры

$\sin (2 θ) = - \frac{1}{2}$

Этап 1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$2 θ = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{1}{2})$ : $- \frac{π}{6}$ .

$2 θ = - \frac{π}{6}$

Этап 3

Разделим каждый член $2 θ = - \frac{π}{6}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $2 θ = - \frac{π}{6}$ на $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$θ = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.3.2

Умножим $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{π}{6}$ .

$θ = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $2$ на $6$ .

$θ = - \frac{π}{12}$

Этап 4

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$2 θ = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Этап 5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 θ = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Этап 5.2

Результирующий угол $\frac{7 π}{6}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{6} + π$ на полный оборот.

$2 θ = \frac{7 π}{6}$

Этап 5.3

Разделим каждый член $2 θ = \frac{7 π}{6}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $2 θ = \frac{7 π}{6}$ на $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$θ = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 5.3.3.2

Умножим $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Умножим $\frac{7 π}{6}$ на $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Этап 5.3.3.2.2

Умножим $6$ на $2$ .

$θ = \frac{7 π}{12}$

Этап 6

Найдем период $\sin (2 θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 6.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 7

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{12}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{12} + π$

Этап 7.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Этап 7.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Объединим $π$ и $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Этап 7.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

Этап 7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Перенесем $12$ влево от $π$ .

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

Этап 7.4.2

Вычтем $π$ из $12 π$ .

$\frac{11 π}{12}$

Этап 7.5

Перечислим новые углы.

$θ = \frac{11 π}{12}$

Этап 8

Период функции $\sin (2 θ)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , для любого целого $n$