Основы мат. анализа Примеры

$\frac{6 x}{x - 6} = 9 + \frac{2 x^{2}}{x - 6}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 6, 1, x - 6$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $x - 6$ является само значение $x - 6$ .

$(x - 6) = x - 6$

$(x - 6)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

НОК $x - 6, x - 6$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x - 6$

Этап 2

Каждый член в $\frac{6 x}{x - 6} = 9 + \frac{2 x^{2}}{x - 6}$ умножим на $x - 6$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{6 x}{x - 6} = 9 + \frac{2 x^{2}}{x - 6}$ на $x - 6$ .

$\frac{6 x}{x - 6} (x - 6) = 9 (x - 6) + \frac{2 x^{2}}{x - 6} (x - 6)$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{x - 6} (x - 6) = 9 (x - 6) + \frac{2 x^{2}}{x - 6} (x - 6)$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$6 x = 9 (x - 6) + \frac{2 x^{2}}{x - 6} (x - 6)$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x = 9 x + 9 \cdot - 6 + \frac{2 x^{2}}{x - 6} (x - 6)$

Этап 2.3.1.2

Умножим $9$ на $- 6$ .

$6 x = 9 x - 54 + \frac{2 x^{2}}{x - 6} (x - 6)$

Этап 2.3.1.3

Сократим общий множитель $x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$6 x = 9 x - 54 + \frac{2 x^{2}}{x - 6} (x - 6)$

Этап 2.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$6 x = 9 x - 54 + 2 x^{2}$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$9 x - 54 + 2 x^{2} = 6 x$

Этап 3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $6 x$ из обеих частей уравнения.

$9 x - 54 + 2 x^{2} - 6 x = 0$

Этап 3.2.2

Вычтем $6 x$ из $9 x$ .

$3 x - 54 + 2 x^{2} = 0$

Этап 3.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Изменим порядок членов.

$2 x^{2} + 3 x - 54 = 0$

Этап 3.3.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 54 = - 108$ , а сумма — $b = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$2 x^{2} + 3 (x) - 54 = 0$

Этап 3.3.2.2

Запишем $3$ как $- 9$ плюс $12$

$2 x^{2} + (- 9 + 12) x - 54 = 0$

Этап 3.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 9 x + 12 x - 54 = 0$

Этап 3.3.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 x^{2} - 9 x) + 12 x - 54 = 0$

Этап 3.3.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (2 x - 9) + 6 (2 x - 9) = 0$

Этап 3.3.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 9$ .

$(2 x - 9) (x + 6) = 0$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 9 = 0$

$x + 6 = 0$

Этап 3.5

Приравняем $2 x - 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $2 x - 9$ к $0$ .

$2 x - 9 = 0$

Этап 3.5.2

Решим $2 x - 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 9$

Этап 3.5.2.2

Разделим каждый член $2 x = 9$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 9$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{9}{2}$

Этап 3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{9}{2}$

Этап 3.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{9}{2}$

Этап 3.6

Приравняем $x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 3.6.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x - 9) (x + 6) = 0$ верно.

$x = \frac{9}{2}, - 6$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{9}{2}, - 6$

Десятичная форма:

$x = 4.5, - 6$

Форма смешанных чисел:

$x = 4 \frac{1}{2}, - 6$