Основы мат. анализа Примеры

$7^{x^{2}} = 8^{9 - x}$

Этап 1

Возьмем логарифм обеих частей уравнения.

$\ln (7^{x^{2}}) = \ln (8^{9 - x})$

Этап 2

Развернем $\ln (7^{x^{2}})$ , вынося $x^{2}$ из логарифма.

$x^{2} \ln (7) = \ln (8^{9 - x})$

Этап 3

Развернем $\ln (8^{9 - x})$ , вынося $9 - x$ из логарифма.

$x^{2} \ln (7) = (9 - x) \ln (8)$

Этап 4

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} \ln (7) = 9 \ln (8) - x \ln (8)$

Этап 4.2

Добавим $x \ln (8)$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} \ln (7) + x \ln (8) = 9 \ln (8)$

Этап 4.3

Вычтем $9 \ln (8)$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} \ln (7) + x \ln (8) - 9 \ln (8) = 0$

Этап 4.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.5

Подставим значения $a = \ln (7)$ , $b = \ln (8)$ и $c = - 9 \ln (8)$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- \ln (8) \pm \sqrt{\ln^{2} (8) - 4 \cdot (\ln (7) \cdot (- 9 \ln (8)))}}{2 \ln (7)}$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем множитель $\ln (8)$ из $\ln^{2} (8) - 4 \cdot \ln (7) \cdot - 9 \ln (8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Вынесем множитель $\ln (8)$ из $\ln^{2} (8)$ .

$x = \frac{- \ln (8) \pm \sqrt{\ln (8) \ln (8) - 4 \cdot \ln (7) \cdot (- 9 \ln (8))}}{2 \ln (7)}$

Этап 4.6.1.2

Вынесем множитель $\ln (8)$ из $- 4 \cdot \ln (7) \cdot - 9 \ln (8)$ .

$x = \frac{- \ln (8) \pm \sqrt{\ln (8) \ln (8) + \ln (8) (- 4 \cdot \ln (7) \cdot - 9)}}{2 \ln (7)}$

Этап 4.6.1.3

Вынесем множитель $\ln (8)$ из $\ln (8) \ln (8) + \ln (8) (- 4 \cdot \ln (7) \cdot - 9)$ .

$x = \frac{- \ln (8) \pm \sqrt{\ln (8) (\ln (8) - 4 \cdot \ln (7) \cdot - 9)}}{2 \ln (7)}$

Этап 4.6.2

Умножим $- 9$ на $- 4$ .

$x = \frac{- \ln (8) \pm \sqrt{\ln (8) (\ln (8) + 36 \ln (7))}}{2 \ln (7)}$

Этап 4.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{\ln (8) - \sqrt{\ln (8) (\ln (8) + 36 \ln (7))}}{2 \ln (7)}, - \frac{\ln (8) + \sqrt{\ln (8) (\ln (8) + 36 \ln (7))}}{2 \ln (7)}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{\ln (8) - \sqrt{\ln (8) (\ln (8) + 36 \ln (7))}}{2 \ln (7)}, - \frac{\ln (8) + \sqrt{\ln (8) (\ln (8) + 36 \ln (7))}}{2 \ln (7)}$

Десятичная форма:

$x = 2.61260549 \dots, - 3.68122705 \dots$