Основы мат. анализа Примеры

$8^{x^{2} - 2 x} = \frac{1}{2}$

Этап 1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$8^{x^{2} - 2 x} = \frac{1}{2^{1}}$

Этап 2

Перенесем $2^{1}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$8^{x^{2} - 2 x} = 2^{- 1}$

Этап 3

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$2^{3 (x^{2} - 2 x)} = 2^{- 1}$

Этап 4

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$3 (x^{2} - 2 x) = - 1$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $3 (x^{2} - 2 x) = - 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Разделим каждый член $3 (x^{2} - 2 x) = - 1$ на $3$ .

$\frac{3 (x^{2} - 2 x)}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 5.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (x^{2} - 2 x)}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 5.1.2.1.2

Разделим $x^{2} - 2 x$ на $1$ .

$x^{2} - 2 x = \frac{- 1}{3}$

Этап 5.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} - 2 x = - \frac{1}{3}$

Этап 5.2

Добавим $\frac{1}{3}$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 2 x + \frac{1}{3} = 0$

Этап 5.3

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $3$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 (\frac{1}{3}) = 0$

Этап 5.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$3 x^{2} - 6 x + 3 (\frac{1}{3}) = 0$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$3 x^{2} - 6 x + 3 (\frac{1}{3}) = 0$

Этап 5.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$3 x^{2} - 6 x + 1 = 0$

Этап 5.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.5

Подставим значения $a = 3$ , $b = - 6$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.6.1.2.2

Умножим $- 12$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.6.1.3

Вычтем $12$ из $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.6.1.4

Перепишем $24$ в виде $2^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{6}}{6}$

Этап 5.6.3

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{6}}{6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{6}}{3}$

Этап 5.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{3 + \sqrt{6}}{3}, \frac{3 - \sqrt{6}}{3}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{3 + \sqrt{6}}{3}, \frac{3 - \sqrt{6}}{3}$

Десятичная форма:

$x = 1.81649658 \dots, 0.18350341 \dots$