Основы мат. анализа Примеры

$e^{2 x} - 6 e^{x} + 9 = 0$

Этап 1

Перепишем $e^{2 x}$ в виде степенного выражения.

${(e^{x})}^{2} - 6 e^{x} + 9 = 0$

Этап 2

Подставим $u$ вместо $e^{x}$ .

$u^{2} - 6 u + 9 = 0$

Этап 3

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$u^{2} - 6 u + 3^{2} = 0$

Этап 3.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Этап 3.1.3

Перепишем многочлен.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Этап 3.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 3$ .

${(u - 3)}^{2} = 0$

Этап 3.2

Приравняем $u - 3$ к $0$ .

$u - 3 = 0$

Этап 3.3

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$u = 3$

Этап 4

Подставим $3$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$3 = e^{x}$

Этап 5

Решим $3 = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = 3$ .

$e^{x} = 3$

Этап 5.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

Этап 5.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (3)$

Этап 5.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (3)$

Этап 5.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (3)$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \ln (3)$

Десятичная форма:

$x = 1.09861228 \dots$