Основы мат. анализа Примеры

$e^{2 x} + 7 e^{x} - 3 = 0$

Этап 1

Перепишем $e^{2 x}$ в виде степенного выражения.

${(e^{x})}^{2} + 7 e^{x} - 3 = 0$

Этап 2

Подставим $u$ вместо $e^{x}$ .

$u^{2} + 7 u - 3 = 0$

Этап 3

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 7$ и $c = - 3$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.1.3

Добавим $49$ и $12$ .

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{61}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{61}}{2}$

Этап 3.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = - \frac{7 - \sqrt{61}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$

Этап 4

Подставим $- \frac{7 - \sqrt{61}}{2}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$- \frac{7 - \sqrt{61}}{2} = e^{x}$

Этап 5

Решим $- \frac{7 - \sqrt{61}}{2} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = - \frac{7 - \sqrt{61}}{2}$ .

$e^{x} = - \frac{7 - \sqrt{61}}{2}$

Этап 5.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

Этап 5.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

Этап 5.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

Этап 5.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

Этап 6

Подставим $- \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$- \frac{7 + \sqrt{61}}{2} = e^{x}$

Этап 7

Решим $- \frac{7 + \sqrt{61}}{2} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = - \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$ .

$e^{x} = - \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$

Этап 7.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{7 + \sqrt{61}}{2})$

Этап 7.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (- \frac{7 + \sqrt{61}}{2})$ не определено.

Неопределенные

Этап 7.4

Нет решения для $e^{x} = - \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$

Нет решения

Этап 8

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

Десятичная форма:

$x = - 0.90356001 \dots$