Основы мат. анализа Примеры

$\cot^{2} (x) - \cot (x) = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \cot (x)$ . Подставим $u$ вместо $\cot (x)$ для всех.

$u^{2} - u = 0$

Этап 1.2

Вынесем множитель $u$ из $u^{2} - u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $u$ из $u^{2}$ .

$u \cdot u - u = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $u$ из $- u$ .

$u \cdot u + u \cdot - 1 = 0$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot u + u \cdot - 1$ .

$u (u - 1) = 0$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cot (x)$ .

$\cot (x) (\cot (x) - 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cot (x) = 0$

$\cot (x) - 1 = 0$

Этап 3

Приравняем $\cot (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\cot (x)$ к $0$ .

$\cot (x) = 0$

Этап 3.2

Решим $\cot (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x = arccot (0)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Точное значение $arccot (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 3.2.3

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{2}$

Этап 3.2.4

Упростим $π + \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 3.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 3.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Этап 3.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Этап 3.2.4.3.2

Добавим $2 π$ и $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 3.2.5

Найдем период $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 3.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 3.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 3.2.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 3.2.6

Период функции $\cot (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $\cot (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\cot (x) - 1$ к $0$ .

$\cot (x) - 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $\cot (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\cot (x) = 1$

Этап 4.2.2

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x = arccot (1)$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Точное значение $arccot (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 4.2.4

$x = π + \frac{π}{4}$

Этап 4.2.5

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 4.2.5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 4.2.5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 4.2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 4.2.5.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 4.2.6

Найдем период $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 4.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 4.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 4.2.6.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 4.2.7

Период функции $\cot (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $\cot (x) (\cot (x) - 1) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{π}{2} + π n$ и $\frac{3 π}{2} + π n$ в $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 6.2

Объединим $\frac{π}{4} + π n$ и $\frac{5 π}{4} + π n$ в $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n$ , для любого целого $n$