Основы мат. анализа Примеры

$\csc^{2} (x) - 2 \cot (x) = 0$

Этап 1

Заменим $\csc^{2} (x)$ на $\cot^{2} (x) + 1$ на основе тождества $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\cot^{2} (x) + 1) - 2 \cot (x) = 0$

Этап 2

Упорядочим многочлен.

$\cot^{2} (x) - 2 \cot (x) + 1 = 0$

Этап 3

Подставим $u$ вместо $\cot (x)$ .

${(u)}^{2} - 2 u + 1 = 0$

Этап 4

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$u^{2} - 2 u + 1^{2} = 0$

Этап 4.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Этап 4.3

Перепишем многочлен.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Этап 4.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 1$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Этап 5

Приравняем $u - 1$ к $0$ .

$u - 1 = 0$

Этап 6

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$

Этап 7

Подставим $\cot (x)$ вместо $u$ .

$\cot (x) = 1$

Этап 8

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x = arccot (1)$

Этап 9

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Точное значение $arccot (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 10

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{4}$

Этап 11

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 11.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 11.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 11.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 11.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 12

Найдем период $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 12.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 12.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 12.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 13

Период функции $\cot (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 14

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , для любого целого $n$