Основы мат. анализа Примеры

$\cos^{2} (x) + 2 \sin (x) - 2 = 0$

Этап 1

Заменим $\cos^{2} (x)$ на $1 - \sin^{2} (x)$ .

$(1 - \sin^{2} (x)) + 2 \sin (x) - 2 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $2$ из $1$ .

$- 1 - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Этап 2.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Изменим порядок членов.

$- \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 = 0$

Этап 2.2.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ , а сумма — $b = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sin (x)$ .

$- \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 = 0$

Этап 2.2.2.2

Запишем $2$ как $1$ плюс $1$

$- \sin^{2} (x) + (1 + 1) \sin (x) - 1 = 0$

Этап 2.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) + 1 \sin (x) - 1 = 0$

Этап 2.2.2.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \sin (x) + 1 \sin (x) - 1 = 0$

Этап 2.2.2.5

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \sin (x) + \sin (x) - 1 = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- \sin^{2} (x) + \sin (x) + \sin (x) - 1 = 0$

Этап 2.2.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\sin (x) (- \sin (x) + 1) - 1 (- \sin (x) + 1) = 0$

Этап 2.2.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- \sin (x) + 1$ .

$(- \sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$- \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $- \sin (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $- \sin (x) + 1$ к $0$ .

$- \sin (x) + 1 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $- \sin (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \sin (x) = - 1$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $- \sin (x) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $- \sin (x) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.4.2.2.2.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Этап 2.4.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (1)$

Этап 2.4.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 2.4.2.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{2}$

Этап 2.4.2.6

Упростим $π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.6.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.4.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.6.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.4.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 2.4.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.6.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 2.4.2.6.3.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 2.4.2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.4.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.4.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.4.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.4.2.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(- \sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$