Основы мат. анализа Примеры

$e^{4 x} - 6 e^{2 x} = 16$

Этап 1

Перепишем $e^{4 x}$ в виде степенного выражения.

${(e^{x})}^{4} - 6 e^{2 x} = 16$

Этап 2

Перепишем $e^{2 x}$ в виде степенного выражения.

${(e^{x})}^{4} - 6 {(e^{x})}^{2} = 16$

Этап 3

Подставим $u$ вместо $e^{x}$ .

$u^{4} - 6 u^{2} = 16$

Этап 4

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$u^{4} - 6 u^{2} - 16 = 0$

Этап 4.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $u^{4}$ в виде ${(u^{2})}^{2}$ .

${(u^{2})}^{2} - 6 u^{2} - 16 = 0$

Этап 4.2.2

Пусть $u = u^{2}$ . Подставим $u$ вместо $u^{2}$ для всех.

$u^{2} - 6 u - 16 = 0$

Этап 4.2.3

Разложим $u^{2} - 6 u - 16$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 16$ , а сумма — $- 6$ .

$- 8, 2$

Этап 4.2.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 8) (u + 2) = 0$

Этап 4.2.4

Заменим все вхождения $u$ на $u^{2}$ .

$(u^{2} - 8) (u^{2} + 2) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u^{2} - 8 = 0$

$u^{2} + 2 = 0$

Этап 4.4

Приравняем $u^{2} - 8$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $u^{2} - 8$ к $0$ .

$u^{2} - 8 = 0$

Этап 4.4.2

Решим $u^{2} - 8 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$u^{2} = 8$

Этап 4.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{8}$

Этап 4.4.2.3

Упростим $\pm \sqrt{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.3.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$u = \pm \sqrt{4 (2)}$

Этап 4.4.2.3.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Этап 4.4.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \pm 2 \sqrt{2}$

Этап 4.4.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$u = 2 \sqrt{2}$

Этап 4.4.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$u = - 2 \sqrt{2}$

Этап 4.4.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$u = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Этап 4.5

Приравняем $u^{2} + 2$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $u^{2} + 2$ к $0$ .

$u^{2} + 2 = 0$

Этап 4.5.2

Решим $u^{2} + 2 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} = - 2$

Этап 4.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{- 2}$

Этап 4.5.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.3.1

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$u = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Этап 4.5.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (2)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$u = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Этап 4.5.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$u = \pm i \sqrt{2}$

Этап 4.5.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$u = i \sqrt{2}$

Этап 4.5.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$u = - i \sqrt{2}$

Этап 4.5.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$u = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u^{2} - 8) (u^{2} + 2) = 0$ верно.

$u = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Этап 5

Подставим $2 \sqrt{2}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$2 \sqrt{2} = e^{x}$

Этап 6

Решим $2 \sqrt{2} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = 2 \sqrt{2}$ .

$e^{x} = 2 \sqrt{2}$

Этап 6.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (2 \sqrt{2})$

Этап 6.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (2 \sqrt{2})$

Этап 6.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2 \sqrt{2})$

Этап 6.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (2 \sqrt{2})$

Этап 7

Подставим $- 2 \sqrt{2}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$- 2 \sqrt{2} = e^{x}$

Этап 8

Решим $- 2 \sqrt{2} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = - 2 \sqrt{2}$ .

$e^{x} = - 2 \sqrt{2}$

Этап 8.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 2 \sqrt{2})$

Этап 8.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (- 2 \sqrt{2})$ не определено.

Неопределенные

Этап 8.4

Нет решения для $e^{x} = - 2 \sqrt{2}$

Нет решения

Этап 9

Подставим $i \sqrt{2}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$i \sqrt{2} = e^{x}$

Этап 10

Решим $i \sqrt{2} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = i \sqrt{2}$ .

$e^{x} = i \sqrt{2}$

Этап 10.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (i \sqrt{2})$

Этап 10.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (i \sqrt{2})$

Этап 10.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (i \sqrt{2})$

Этап 10.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (i \sqrt{2})$

Этап 10.4

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Перепишем $\ln (i \sqrt{2})$ в виде $\ln (i) + \ln (\sqrt{2})$ .

$x = \ln (i) + \ln (\sqrt{2})$

Этап 10.4.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (i) + \ln (2^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.4.3

Развернем $\ln (2^{\frac{1}{2}})$ , вынося $\frac{1}{2}$ из логарифма.

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (2)$

Этап 10.4.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (2)$ .

$x = \ln (i) + \frac{\ln (2)}{2}$

Этап 10.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1.1

Перепишем $\frac{\ln (2)}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \ln (2)$ .

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (2)$

Этап 10.5.1.2

Упростим $\frac{1}{2} \ln (2)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$x = \ln (i) + \ln (2^{\frac{1}{2}})$

Этап 10.5.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x = \ln (i \cdot 2^{\frac{1}{2}})$

Этап 11

Подставим $- i \sqrt{2}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$- i \sqrt{2} = e^{x}$

Этап 12

Решим $- i \sqrt{2} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = - i \sqrt{2}$ .

$e^{x} = - i \sqrt{2}$

Этап 12.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (- i \sqrt{2})$

Этап 12.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (- i \sqrt{2})$ не определено.

Неопределенные

Этап 12.4

Нет решения для $e^{x} = - i \sqrt{2}$

Нет решения

Этап 13

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = \ln (2 \sqrt{2}), \ln (i \cdot 2^{\frac{1}{2}})$