Основы мат. анализа Примеры

$e^{x} - e^{- x} - 1 = 0$

Этап 1

Перепишем $e^{- x}$ в виде степенного выражения.

$e^{x} - {(e^{x})}^{- 1} - 1 = 0$

Этап 2

Подставим $u$ вместо $e^{x}$ .

$u - u^{- 1} - 1 = 0$

Этап 3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u - \frac{1}{u} - 1 = 0$

Этап 4

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, u, 1, 1$

Этап 4.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$u$

Этап 4.2

Каждый член в $u - \frac{1}{u} - 1 = 0$ умножим на $u$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим каждый член $u - \frac{1}{u} - 1 = 0$ на $u$ .

$u \cdot u - \frac{1}{u} u - u = 0 u$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Умножим $u$ на $u$ .

$u^{2} - \frac{1}{u} u - u = 0 u$

Этап 4.2.2.1.2

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{u}$ в числитель.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u - u = 0 u$

Этап 4.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u - u = 0 u$

Этап 4.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$u^{2} - 1 - u = 0 u$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Умножим $0$ на $u$ .

$u^{2} - 1 - u = 0$

Этап 4.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.3.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 1$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.3.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Этап 4.3.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 5

Подставим $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$\frac{1 + \sqrt{5}}{2} = e^{x}$

Этап 6

Решим $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .

$e^{x} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Этап 6.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})$

Этап 6.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})$

Этап 6.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})$

Этап 6.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})$

Этап 7

Подставим $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} = e^{x}$

Этап 8

Решим $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ .

$e^{x} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 8.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

Этап 8.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ не определено.

Неопределенные

Этап 8.4

Нет решения для $e^{x} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Нет решения

Этап 9

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})$

Десятичная форма:

$x = 0.48121182 \dots$