Основы мат. анализа Примеры

$e^{x} (8 - e^{x}) = 16$

Этап 1

Упростим $e^{x} (8 - e^{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{x} \cdot 8 + e^{x} (- e^{x}) = 16$

Этап 1.1.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Перенесем $8$ влево от $e^{x}$ .

$8 \cdot e^{x} + e^{x} (- e^{x}) = 16$

Этап 1.1.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 \cdot e^{x} - e^{x} e^{x} = 16$

Этап 1.2

Умножим $e^{x}$ на $e^{x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем $e^{x}$ .

$8 e^{x} - (e^{x} e^{x}) = 16$

Этап 1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 e^{x} - e^{x + x} = 16$

Этап 1.2.3

Добавим $x$ и $x$ .

$8 e^{x} - e^{2 x} = 16$

Этап 2

Перепишем $e^{2 x}$ в виде степенного выражения.

$8 e^{x} - {(e^{x})}^{2} = 16$

Этап 3

Подставим $u$ вместо $e^{x}$ .

$8 u - u^{2} = 16$

Этап 4

Изменим порядок $8 u$ и $- u^{2}$ .

$- u^{2} + 8 u = 16$

Этап 5

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$- u^{2} + 8 u - 16 = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u^{2} + 8 u - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u^{2}$ .

$- (u^{2}) + 8 u - 16 = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $8 u$ .

$- (u^{2}) - (- 8 u) - 16 = 0$

Этап 5.2.1.3

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$- (u^{2}) - (- 8 u) - 1 \cdot 16 = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (u^{2}) - (- 8 u)$ .

$- (u^{2} - 8 u) - 1 \cdot 16 = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (u^{2} - 8 u) - 1 (16)$ .

$- (u^{2} - 8 u + 16) = 0$

Этап 5.2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$- (u^{2} - 8 u + 4^{2}) = 0$

Этап 5.2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

Этап 5.2.2.3

Перепишем многочлен.

$- (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Этап 5.2.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 4$ .

$- {(u - 4)}^{2} = 0$

Этап 5.3

Разделим каждый член $- {(u - 4)}^{2} = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $- {(u - 4)}^{2} = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- {(u - 4)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{{(u - 4)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 5.3.2.2

Разделим ${(u - 4)}^{2}$ на $1$ .

${(u - 4)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

${(u - 4)}^{2} = 0$

Этап 5.4

Приравняем $u - 4$ к $0$ .

$u - 4 = 0$

Этап 5.5

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$u = 4$

Этап 6

Подставим $4$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$4 = e^{x}$

Этап 7

Решим $4 = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = 4$ .

$e^{x} = 4$

Этап 7.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (4)$

Этап 7.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (4)$

Этап 7.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (4)$

Этап 7.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (4)$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \ln (4)$

Десятичная форма:

$x = 1.38629436 \dots$