Основы мат. анализа Примеры

$\sin^{2} (x) = \frac{3}{10}$

Этап 1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{10}}$

Этап 2

Упростим $\pm \sqrt{\frac{3}{10}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\sqrt{\frac{3}{10}}$ в виде $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$

Этап 2.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ на $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Этап 2.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ на $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Этап 2.3.2

Возведем $\sqrt{10}$ в степень $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Этап 2.3.3

Возведем $\sqrt{10}$ в степень $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Этап 2.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Этап 2.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Этап 2.3.6

Перепишем ${\sqrt{10}}^{2}$ в виде $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{10}$ в виде $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{1}}$

Этап 2.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10}$

Этап 2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 10}}{10}$

Этап 2.4.2

Умножим $3$ на $10$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{30}}{10}$

Этап 3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{30}}{10}$

Этап 3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{30}}{10}$

Этап 3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{30}}{10}, - \frac{\sqrt{30}}{10}$

Этап 4

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{30}}{10}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{30}}{10}$

Этап 5

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{\sqrt{30}}{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{30}}{10})$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{\sqrt{30}}{10})$ .

$x = 0.57963974$

Этап 5.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = (3.14159265) - 0.57963974$

Этап 5.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 - 0.57963974$

Этап 5.4.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) - 0.57963974$

Этап 5.4.3

Вычтем $0.57963974$ из $3.14159265$ .

$x = 2.56195291$

Этап 5.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.57963974 + 2 π n, 2.56195291 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - \frac{\sqrt{30}}{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{30}}{10})$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем значение $\arcsin (- \frac{\sqrt{30}}{10})$ .

$x = - 0.57963974$

Этап 6.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 (3.14159265) + 0.57963974 + 3.14159265$

Этап 6.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 (3.14159265) + 0.57963974 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.57963974 + 3.14159265 - 2 π$

Этап 6.4.2

Результирующий угол $3.72123239$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 (3.14159265) + 0.57963974 + 3.14159265$ на полный оборот.

$x = 3.72123239$

Этап 6.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Добавим $2 π$ к $- 0.57963974$ , чтобы найти положительный угол.

$- 0.57963974 + 2 π$

Этап 6.6.2

Вычтем $0.57963974$ из $2 π$ .

$5.70354556$

Этап 6.6.3

Перечислим новые углы.

$x = 5.70354556$

Этап 6.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 3.72123239 + 2 π n, 5.70354556 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Перечислим все решения.

$x = 0.57963974 + 2 π n, 2.56195291 + 2 π n, 3.72123239 + 2 π n, 5.70354556 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $0.57963974 + 2 π n$ и $3.72123239 + 2 π n$ в $0.57963974 + π n$ .

$x = 0.57963974 + π n, 2.56195291 + 2 π n, 5.70354556 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8.2

Объединим $2.56195291 + 2 π n$ и $5.70354556 + 2 π n$ в $2.56195291 + π n$ .

$x = 0.57963974 + π n, 2.56195291 + π n$ , для любого целого $n$