Основы мат. анализа Примеры

$\sin^{2} (3 x) - \sin^{2} (x) = 0$

Этап 1

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \sin (3 x)$ и $b = \sin (x)$ .

$(\sin (3 x) + \sin (x)) (\sin (3 x) - \sin (x)) = 0$

Этап 1.2

Применим формулу тройного угла для синуса.

$(- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + \sin (x)) (\sin (3 x) - \sin (x)) = 0$

Этап 1.3

Добавим $3 \sin (x)$ и $\sin (x)$ .

$(- 4 \sin^{3} (x) + 4 \sin (x)) (\sin (3 x) - \sin (x)) = 0$

Этап 1.4

Применим формулу тройного угла для синуса.

$(- 4 \sin^{3} (x) + 4 \sin (x)) (- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) - \sin (x)) = 0$

Этап 1.5

Вычтем $\sin (x)$ из $3 \sin (x)$ .

$(- 4 \sin^{3} (x) + 4 \sin (x)) (- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin (x)) = 0$

Этап 1.6

Развернем $(- 4 \sin^{3} (x) + 4 \sin (x)) (- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 \sin^{3} (x) (- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin (x)) = 0$

Этап 1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 \sin^{3} (x) (- 4 \sin^{3} (x)) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin (x)) = 0$

Этап 1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 \sin^{3} (x) (- 4 \sin^{3} (x)) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Этап 1.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 4 \cdot (- 4 \sin^{3} (x) \sin^{3} (x)) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Этап 1.7.1.2

Умножим $\sin^{3} (x)$ на $\sin^{3} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.1

Перенесем $\sin^{3} (x)$ .

$- 4 \cdot (- 4 (\sin^{3} (x) \sin^{3} (x))) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Этап 1.7.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 4 \cdot (- 4 {\sin (x)}^{3 + 3}) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Этап 1.7.1.2.3

Добавим $3$ и $3$ .

$- 4 \cdot (- 4 \sin^{6} (x)) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Этап 1.7.1.3

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$16 \sin^{6} (x) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Этап 1.7.1.4

Умножим $\sin^{3} (x)$ на $\sin (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.4.1

Перенесем $\sin (x)$ .

$16 \sin^{6} (x) - 4 (\sin (x) \sin^{3} (x)) \cdot 2 + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Этап 1.7.1.4.2

Умножим $\sin (x)$ на $\sin^{3} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.4.2.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$16 \sin^{6} (x) - 4 (\sin (x) \sin^{3} (x)) \cdot 2 + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Этап 1.7.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$16 \sin^{6} (x) - 4 {\sin (x)}^{1 + 3} \cdot 2 + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Этап 1.7.1.4.3

Добавим $1$ и $3$ .

$16 \sin^{6} (x) - 4 \sin^{4} (x) \cdot 2 + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Этап 1.7.1.5

Умножим $2$ на $- 4$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Этап 1.7.1.6

Умножим $\sin (x)$ на $\sin^{3} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.6.1

Перенесем $\sin^{3} (x)$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) + 4 (\sin^{3} (x) \sin (x)) \cdot - 4 + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Этап 1.7.1.6.2

Умножим $\sin^{3} (x)$ на $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.6.2.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) + 4 (\sin^{3} (x) \sin (x)) \cdot - 4 + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Этап 1.7.1.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) + 4 {\sin (x)}^{3 + 1} \cdot - 4 + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Этап 1.7.1.6.3

Добавим $3$ и $1$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x) \cdot - 4 + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Этап 1.7.1.7

Умножим $- 4$ на $4$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) - 16 \sin^{4} (x) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Этап 1.7.1.8

Умножим $4 \sin (x) (2 \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.8.1

Умножим $2$ на $4$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) - 16 \sin^{4} (x) + 8 \sin (x) \sin (x) = 0$

Этап 1.7.1.8.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) - 16 \sin^{4} (x) + 8 (\sin (x) \sin (x)) = 0$

Этап 1.7.1.8.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) - 16 \sin^{4} (x) + 8 (\sin (x) \sin (x)) = 0$

Этап 1.7.1.8.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) - 16 \sin^{4} (x) + 8 {\sin (x)}^{1 + 1} = 0$

Этап 1.7.1.8.5

Добавим $1$ и $1$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) - 16 \sin^{4} (x) + 8 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 1.7.2

Вычтем $16 \sin^{4} (x)$ из $- 8 \sin^{4} (x)$ .

$16 \sin^{6} (x) - 24 \sin^{4} (x) + 8 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 2

Разложим $16 \sin^{6} (x) - 24 \sin^{4} (x) + 8 \sin^{2} (x)$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $8 \sin^{2} (x)$ из $16 \sin^{6} (x) - 24 \sin^{4} (x) + 8 \sin^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $8 \sin^{2} (x)$ из $16 \sin^{6} (x)$ .

$8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x)) - 24 \sin^{4} (x) + 8 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $8 \sin^{2} (x)$ из $- 24 \sin^{4} (x)$ .

$8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x)) + 8 \sin^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x)) + 8 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $8 \sin^{2} (x)$ из $8 \sin^{2} (x)$ .

$8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x)) + 8 \sin^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x)) + 8 \sin^{2} (x) \cdot 1 = 0$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $8 \sin^{2} (x)$ из $8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x)) + 8 \sin^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x))$ .

$8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x) - 3 \sin^{2} (x)) + 8 \sin^{2} (x) \cdot 1 = 0$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $8 \sin^{2} (x)$ из $8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x) - 3 \sin^{2} (x)) + 8 \sin^{2} (x) \cdot 1$ .

$8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x) - 3 \sin^{2} (x) + 1) = 0$

Этап 2.2

Перепишем $\sin^{4} (x)$ в виде ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

$8 \sin^{2} (x) (2 {(\sin^{2} (x))}^{2} - 3 \sin^{2} (x) + 1) = 0$

Этап 2.3

Пусть $u = \sin^{2} (x)$ . Подставим $u$ вместо $\sin^{2} (x)$ для всех.

$8 \sin^{2} (x) (2 u^{2} - 3 u + 1) = 0$

Этап 2.4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ , а сумма — $b = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 u$ .

$8 \sin^{2} (x) (2 u^{2} - 3 u + 1) = 0$

Этап 2.4.1.2

Запишем $- 3$ как $- 1$ плюс $- 2$

$8 \sin^{2} (x) (2 u^{2} + (- 1 - 2) u + 1) = 0$

Этап 2.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 \sin^{2} (x) (2 u^{2} - 1 u - 2 u + 1) = 0$

Этап 2.4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$8 \sin^{2} (x) ((2 u^{2} - 1 u) - 2 u + 1) = 0$

Этап 2.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$8 \sin^{2} (x) (u (2 u - 1) - (2 u - 1)) = 0$

Этап 2.4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u - 1$ .

$8 \sin^{2} (x) ((2 u - 1) (u - 1)) = 0$

Этап 2.5

Заменим все вхождения $u$ на $\sin^{2} (x)$ .

$8 \sin^{2} (x) ((2 \sin^{2} (x) - 1) (\sin^{2} (x) - 1)) = 0$

Этап 2.6

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$8 \sin^{2} (x) ((2 \sin^{2} (x) - 1) (\sin^{2} (x) - 1^{2})) = 0$

Этап 2.7

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \sin (x)$ и $b = 1$ .

$8 \sin^{2} (x) ((2 \sin^{2} (x) - 1) ((\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1))) = 0$

Этап 2.7.1.2

Избавимся от ненужных скобок.

$8 \sin^{2} (x) ((2 \sin^{2} (x) - 1) (\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1)) = 0$

Этап 2.7.2

Избавимся от ненужных скобок.

$8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x) - 1) (\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin^{2} (x) = 0$

$2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

Этап 4

Приравняем $\sin^{2} (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\sin^{2} (x)$ к $0$ .

$\sin^{2} (x) = 0$

Этап 4.2

Решим $\sin^{2} (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{0}$

Этап 4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\sin (x) = \pm 0$

Этап 4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 4.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 4.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 4.2.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 4.2.6

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 4.2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.2.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Приравняем $2 \sin^{2} (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $2 \sin^{2} (x) - 1$ к $0$ .

$2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 5.2

Решим $2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 \sin^{2} (x) = 1$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $2 \sin^{2} (x) = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $2 \sin^{2} (x) = 1$ на $2$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $\sin^{2} (x)$ на $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 5.2.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 5.2.4.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 5.2.4.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 5.2.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 5.2.4.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 5.2.4.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 5.2.4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 5.2.4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 5.2.4.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.2.4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.2.4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.2.4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.2.4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 5.2.4.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5.2.6

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5.2.7

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 5.2.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.2.1

Точное значение $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 5.2.7.3

$x = π - \frac{π}{4}$

Этап 5.2.7.4

Упростим $π - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 5.2.7.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 5.2.7.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 5.2.7.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.4.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 5.2.7.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 5.2.7.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.7.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.7.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.8

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 5.2.8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.2.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ : $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Этап 5.2.8.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Этап 5.2.8.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Этап 5.2.8.4.2

Результирующий угол $\frac{5 π}{4}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{4} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 5.2.8.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.8.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.8.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.8.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.8.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Этап 5.2.8.6.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 5.2.8.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.6.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 5.2.8.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 5.2.8.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.6.4.1

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Этап 5.2.8.6.4.2

Вычтем $π$ из $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Этап 5.2.8.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{7 π}{4}$

Этап 5.2.8.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.9

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.10

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $\sin (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $\sin (x) + 1$ к $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Этап 6.2

Решим $\sin (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sin (x) = - 1$

Этап 6.2.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- 1)$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Этап 6.2.4

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 6.2.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 6.2.5.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 6.2.6

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.2.7

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{2}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Этап 6.2.7.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.2.7.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.2.7.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 6.2.7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Этап 6.2.7.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Этап 6.2.7.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 6.2.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Приравняем $\sin (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $\sin (x) - 1$ к $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

Этап 7.2

Решим $\sin (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\sin (x) = 1$

Этап 7.2.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (1)$

Этап 7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 7.2.4

$x = π - \frac{π}{2}$

Этап 7.2.5

Упростим $π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 7.2.5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 7.2.5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 7.2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 7.2.5.3.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 7.2.6

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 7.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 7.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 7.2.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x) - 1) (\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$ верно.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $2 π n$ и $π + 2 π n$ в $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9.2

Объединим $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ и $\frac{π}{2} + 2 π n$ в $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 9.3

Объединим $π n$ и $\frac{π}{2} + π n$ в $\frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 9.4

Объединим ответы.

$x = \frac{π n}{4}$ , для любого целого $n$