Основы мат. анализа Примеры

$\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) - 2 = 0$

Этап 1

Заменим $\sin^{2} (x)$ на $1 - \cos^{2} (x)$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) - 2 \cos (x) - 2 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $2$ из $1$ .

$- 1 - \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$

Этап 2.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Изменим порядок членов.

$- \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Этап 2.2.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ , а сумма — $b = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 \cos (x)$ .

$- \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Этап 2.2.2.2

Запишем $- 2$ как $- 1$ плюс $- 1$

$- \cos^{2} (x) + (- 1 - 1) \cos (x) - 1 = 0$

Этап 2.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) - 1 \cos (x) - 1 = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) - 1 \cos (x) - 1 = 0$

Этап 2.2.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\cos (x) (- \cos (x) - 1) + 1 (- \cos (x) - 1) = 0$

Этап 2.2.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- \cos (x) - 1$ .

$(- \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$- \cos (x) - 1 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $- \cos (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $- \cos (x) - 1$ к $0$ .

$- \cos (x) - 1 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $- \cos (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- \cos (x) = 1$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $- \cos (x) = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $- \cos (x) = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 2.4.2.2.2.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{- 1}$

Этап 2.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$\cos (x) = - 1$

Этап 2.4.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- 1)$

Этап 2.4.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.1

Точное значение $\arccos (- 1)$ : $π$ .

$x = π$

Этап 2.4.2.5

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - π$

Этап 2.4.2.6

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = π$

Этап 2.4.2.7

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.4.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.4.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.4.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.4.2.8

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(- \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0$ верно.

$x = π + 2 π n$ , для любого целого $n$