Основы мат. анализа Примеры

$\sin^{2} (x) + \sin (x) = \frac{1}{2}$

Этап 1

Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ .

${(u)}^{2} + u = \frac{1}{2}$

Этап 2

Вычтем $\frac{1}{2}$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} + u - \frac{1}{2} = 0$

Этап 3

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $2$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 u^{2} + 2 u + 2 (- \frac{1}{2}) = 0$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$2 u^{2} + 2 u + 2 (\frac{- 1}{2}) = 0$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель.

$2 u^{2} + 2 u + 2 (\frac{- 1}{2}) = 0$

Этап 3.2.3

Перепишем это выражение.

$2 u^{2} + 2 u - 1 = 0$

Этап 4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5

Подставим значения $a = 2$ , $b = 2$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 6.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Этап 6.1.3

Добавим $4$ и $8$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Этап 6.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Этап 6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Этап 6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Этап 6.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Этап 7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Этап 8

Подставим $\sin (x)$ вместо $u$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Этап 9

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Этап 10

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Этап 10.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Найдем значение $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})$ .

$x = 0.37473443$

Этап 10.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265$

Этап 10.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265 - 2 π$

Этап 10.4.2

Результирующий угол $2.76685822$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265$ на полный оборот.

$x = 2.76685822$

Этап 10.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 10.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 10.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 10.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 10.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.37473443 + 2 π n, 2.76685822 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 11

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Множество значений синуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 12

Перечислим все решения.

$x = 0.37473443 + 2 π n, 2.76685822 + 2 π n$ , для любого целого $n$