Основы мат. анализа Примеры

$- \sin^{2} (x) = 2 \cos (x) - 2$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $2 \cos (x)$ из обеих частей уравнения.

$- \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = - 2$

Этап 1.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$- \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 = 0$

Этап 2

Заменим $\sin^{2} (x)$ на $1 - \cos^{2} (x)$ .

$- (1 - \cos^{2} (x)) - 2 \cos (x) + 2 = 0$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $u$ вместо $\cos (x)$ .

$- (1 - {(u)}^{2}) - 2 u + 2 = 0$

Этап 3.2

Упростим $- (1 - u^{2}) - 2 u + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 \cdot 1 - - u^{2} - 2 u + 2 = 0$

Этап 3.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 - - u^{2} - 2 u + 2 = 0$

Этап 3.2.1.3

Умножим $- - u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 1 + 1 u^{2} - 2 u + 2 = 0$

Этап 3.2.1.3.2

Умножим $u^{2}$ на $1$ .

$- 1 + u^{2} - 2 u + 2 = 0$

Этап 3.2.2

Добавим $- 1$ и $2$ .

$u^{2} - 2 u + 1 = 0$

Этап 3.3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$u^{2} - 2 u + 1^{2} = 0$

Этап 3.3.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Этап 3.3.3

Перепишем многочлен.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Этап 3.3.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 1$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Этап 3.4

Приравняем $u - 1$ к $0$ .

$u - 1 = 0$

Этап 3.5

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$

Этап 3.6

Подставим $\cos (x)$ вместо $u$ .

$\cos (x) = 1$

Этап 3.7

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (1)$

Этап 3.8

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 3.9

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - 0$

Этап 3.10

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$x = 2 π$

Этап 3.11

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.11.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.11.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.11.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.12

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Объединим ответы.

$x = 2 π n$ , для любого целого $n$