Основы мат. анализа Примеры

$\sin^{2} (x) - 5 \cos (x) + 5 = 0$

Этап 1

Заменим $\sin^{2} (x)$ на $1 - \cos^{2} (x)$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) - 5 \cos (x) + 5 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $1$ и $5$ .

$6 - \cos^{2} (x) - 5 \cos (x) = 0$

Этап 2.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Изменим порядок членов.

$- \cos^{2} (x) - 5 \cos (x) + 6 = 0$

Этап 2.2.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 6 = - 6$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 \cos (x)$ .

$- \cos^{2} (x) - 5 \cos (x) + 6 = 0$

Этап 2.2.2.2

Запишем $- 5$ как $1$ плюс $- 6$

$- \cos^{2} (x) + (1 - 6) \cos (x) + 6 = 0$

Этап 2.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 6 \cos (x) + 6 = 0$

Этап 2.2.2.4

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) - 6 \cos (x) + 6 = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) - 6 \cos (x) + 6 = 0$

Этап 2.2.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\cos (x) (- \cos (x) + 1) + 6 (- \cos (x) + 1) = 0$

Этап 2.2.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- \cos (x) + 1$ .

$(- \cos (x) + 1) (\cos (x) + 6) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$- \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) + 6 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $- \cos (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $- \cos (x) + 1$ к $0$ .

$- \cos (x) + 1 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $- \cos (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \cos (x) = - 1$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $- \cos (x) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $- \cos (x) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.4.2.2.2.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\cos (x) = 1$

Этап 2.4.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (1)$

Этап 2.4.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 2.4.2.5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - 0$

Этап 2.4.2.6

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$x = 2 π$

Этап 2.4.2.7

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.4.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.4.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.4.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.4.2.8

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.5

Приравняем $\cos (x) + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $\cos (x) + 6$ к $0$ .

$\cos (x) + 6 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $\cos (x) + 6 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$\cos (x) = - 6$

Этап 2.5.2.2

Множество значений косинуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $- 6$ не попадает в это множество, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(- \cos (x) + 1) (\cos (x) + 6) = 0$ верно.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Объединим ответы.

$x = 2 π n$ , для любого целого $n$