Основы мат. анализа Примеры

$\tan^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Этап 1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 2.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 2.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 2.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 2.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 2.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 2.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 2.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 2.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 2.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 4

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $\arctan (\frac{\sqrt{2}}{2})$ .

$x = 0.6154797$

Этап 5.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = (3.14159265) + 0.6154797$

Этап 5.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 + 0.6154797$

Этап 5.4.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) + 0.6154797$

Этап 5.4.3

Добавим $3.14159265$ и $0.6154797$ .

$x = 3.75707236$

Этап 5.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 5.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 5.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 5.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 5.6

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.6154797 + π n, 3.75707236 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем значение $\arctan (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

$x = - 0.6154797$

Этап 6.3

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - 0.6154797 - (3.14159265)$

Этап 6.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Добавим $2 π$ к $- 0.6154797 - (3.14159265)$ .

$x = - 0.6154797 - (3.14159265) + 2 π$

Этап 6.4.2

Результирующий угол $2.52611294$ является положительным и отличается от $- 0.6154797 - (3.14159265)$ на полный оборот.

$x = 2.52611294$

Этап 6.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 6.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 6.6

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Добавим $π$ к $- 0.6154797$ , чтобы найти положительный угол.

$- 0.6154797 + π$

Этап 6.6.2

Заменим на десятичную аппроксимацию.

$3.14159265 - 0.6154797$

Этап 6.6.3

Вычтем $0.6154797$ из $3.14159265$ .

$2.52611294$

Этап 6.6.4

Перечислим новые углы.

$x = 2.52611294$

Этап 6.7

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2.52611294 + π n, 2.52611294 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Перечислим все решения.

$x = 0.6154797 + π n, 3.75707236 + π n, 2.52611294 + π n, 2.52611294 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $0.6154797 + π n$ и $3.75707236 + π n$ в $0.6154797 + π n$ .

$x = 0.6154797 + π n, 2.52611294 + π n, 2.52611294 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8.2

Объединим $2.52611294 + π n$ и $2.52611294 + π n$ в $2.52611294 + π n$ .

$x = 0.6154797 + π n, 2.52611294 + π n$ , для любого целого $n$