Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{5 x} + x = 0$

Этап 1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{5 x} = - x$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{5 x}}^{2} = {(- x)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 x}$ в виде ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(5 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(5 x)}^{1} = {(- x)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$5 x = {(- x)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(- x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$5 x = {(- 1)}^{2} x^{2}$

Этап 3.3.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$5 x = 1 x^{2}$

Этап 3.3.1.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$5 x = x^{2}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$5 x - x^{2} = 0$

Этап 4.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$5 u - u^{2} = 0$

Этап 4.2.2

Вынесем множитель $u$ из $5 u - u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вынесем множитель $u$ из $5 u$ .

$u \cdot 5 - u^{2} = 0$

Этап 4.2.2.2

Вынесем множитель $u$ из $- u^{2}$ .

$u \cdot 5 + u (- u) = 0$

Этап 4.2.2.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot 5 + u (- u)$ .

$u (5 - u) = 0$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$x (5 - x) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$5 - x = 0$

Этап 4.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4.5

Приравняем $5 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $5 - x$ к $0$ .

$5 - x = 0$

Этап 4.5.2

Решим $5 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 5$

Этап 4.5.2.2

Разделим каждый член $- x = - 5$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 5$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 4.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 4.5.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 4.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.3.1

Разделим $- 5$ на $- 1$ .

$x = 5$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (5 - x) = 0$ верно.

$x = 0, 5$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{5 x} + x = 0$ истинным.

$x = 0$