Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{x^{4} - 2 x^{2} + 1} = 10 x - 22$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x^{4} - 2 x^{2} + 1}}^{2} = {(10 x - 22)}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{4} - 2 x^{2} + 1}$ в виде ${(x^{4} - 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{4} - 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(10 x - 22)}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(x^{4} - 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{4} - 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{4} - 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(10 x - 22)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x^{4} - 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(10 x - 22)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x^{4} - 2 x^{2} + 1)}^{1} = {(10 x - 22)}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = {(10 x - 22)}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(10 x - 22)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем ${(10 x - 22)}^{2}$ в виде $(10 x - 22) (10 x - 22)$ .

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = (10 x - 22) (10 x - 22)$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(10 x - 22) (10 x - 22)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 10 x (10 x - 22) - 22 (10 x - 22)$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 10 x (10 x) + 10 x \cdot - 22 - 22 (10 x - 22)$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 10 x (10 x) + 10 x \cdot - 22 - 22 (10 x) - 22 \cdot - 22$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 10 \cdot 10 x \cdot x + 10 x \cdot - 22 - 22 (10 x) - 22 \cdot - 22$

Этап 2.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 10 \cdot 10 (x \cdot x) + 10 x \cdot - 22 - 22 (10 x) - 22 \cdot - 22$

Этап 2.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 10 \cdot 10 x^{2} + 10 x \cdot - 22 - 22 (10 x) - 22 \cdot - 22$

Этап 2.3.1.3.1.3

Умножим $10$ на $10$ .

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 100 x^{2} + 10 x \cdot - 22 - 22 (10 x) - 22 \cdot - 22$

Этап 2.3.1.3.1.4

Умножим $- 22$ на $10$ .

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 100 x^{2} - 220 x - 22 (10 x) - 22 \cdot - 22$

Этап 2.3.1.3.1.5

Умножим $10$ на $- 22$ .

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 100 x^{2} - 220 x - 220 x - 22 \cdot - 22$

Этап 2.3.1.3.1.6

Умножим $- 22$ на $- 22$ .

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 100 x^{2} - 220 x - 220 x + 484$

Этап 2.3.1.3.2

Вычтем $220 x$ из $- 220 x$ .

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 100 x^{2} - 440 x + 484$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $100 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 - 100 x^{2} = - 440 x + 484$

Этап 3.1.2

Добавим $440 x$ к обеим частям уравнения.

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 - 100 x^{2} + 440 x = 484$

Этап 3.1.3

Вычтем $100 x^{2}$ из $- 2 x^{2}$ .

$x^{4} - 102 x^{2} + 1 + 440 x = 484$

Этап 3.2

Вычтем $484$ из обеих частей уравнения.

$x^{4} - 102 x^{2} + 1 + 440 x - 484 = 0$

Этап 3.3

Вычтем $484$ из $1$ .

$x^{4} - 102 x^{2} + 440 x - 483 = 0$

Этап 3.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Разложим $x^{4} - 102 x^{2} + 440 x - 483$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 483, \pm 3, \pm 161, \pm 7, \pm 69, \pm 21, \pm 23$

$q = \pm 1$

Этап 3.4.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 483, \pm 3, \pm 161, \pm 7, \pm 69, \pm 21, \pm 23$

Этап 3.4.1.3

Подставим $3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.3.1

Подставим $3$ в многочлен.

$3^{4} - 102 \cdot 3^{2} + 440 \cdot 3 - 483$

Этап 3.4.1.3.2

Возведем $3$ в степень $4$ .

$81 - 102 \cdot 3^{2} + 440 \cdot 3 - 483$

Этап 3.4.1.3.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$81 - 102 \cdot 9 + 440 \cdot 3 - 483$

Этап 3.4.1.3.4

Умножим $- 102$ на $9$ .

$81 - 918 + 440 \cdot 3 - 483$

Этап 3.4.1.3.5

Вычтем $918$ из $81$ .

$- 837 + 440 \cdot 3 - 483$

Этап 3.4.1.3.6

Умножим $440$ на $3$ .

$- 837 + 1320 - 483$

Этап 3.4.1.3.7

Добавим $- 837$ и $1320$ .

$483 - 483$

Этап 3.4.1.3.8

Вычтем $483$ из $483$ .

$0$

Этап 3.4.1.4

Поскольку $3$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} - 102 x^{2} + 440 x - 483}{x - 3}$

Этап 3.4.1.5

Разделим $x^{4} - 102 x^{2} + 440 x - 483$ на $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

Этап 3.4.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

Этап 3.4.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Этап 3.4.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} - 3 x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Этап 3.4.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Этап 3.4.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

Этап 3.4.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

Этап 3.4.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

Этап 3.4.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{3} - 9 x^{2}$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

Этап 3.4.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$93 x^{2}$

Этап 3.4.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$93 x^{2}$

$440 x$

Этап 3.4.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 93 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$93 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$93 x^{2}$

$440 x$

Этап 3.4.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$93 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$93 x^{2}$

$440 x$

$93 x^{2}$

$279 x$

Этап 3.4.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 93 x^{2} + 279 x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$93 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$93 x^{2}$

$440 x$

$93 x^{2}$

$279 x$

Этап 3.4.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$93 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$93 x^{2}$

$440 x$

$93 x^{2}$

$279 x$

$161 x$

Этап 3.4.1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$93 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$93 x^{2}$

$440 x$

$93 x^{2}$

$279 x$

$161 x$

$483$

Этап 3.4.1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $161 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$93 x$

$161$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$93 x^{2}$

$440 x$

$93 x^{2}$

$279 x$

$161 x$

$483$

Этап 3.4.1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$93 x$

$161$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$93 x^{2}$

$440 x$

$93 x^{2}$

$279 x$

$161 x$

$483$

$161 x$

$483$

Этап 3.4.1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $161 x - 483$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$93 x$

$161$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$93 x^{2}$

$440 x$

$93 x^{2}$

$279 x$

$161 x$

$483$

$161 x$

$483$

Этап 3.4.1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$93 x$

$161$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$93 x^{2}$

$440 x$

$93 x^{2}$

$279 x$

$161 x$

$483$

$161 x$

$483$

$0$

Этап 3.4.1.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{3} + 3 x^{2} - 93 x + 161$

Этап 3.4.1.6

Запишем $x^{4} - 102 x^{2} + 440 x - 483$ в виде набора множителей.

$(x - 3) (x^{3} + 3 x^{2} - 93 x + 161) = 0$

Этап 3.4.2

Разложим $x^{3} + 3 x^{2} - 93 x + 161$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разложим $x^{3} + 3 x^{2} - 93 x + 161$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

$p = \pm 1, \pm 161, \pm 7, \pm 23$

$q = \pm 1$

Этап 3.4.2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 161, \pm 7, \pm 23$

Этап 3.4.2.1.3

Подставим $7$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $7$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.3.1

Подставим $7$ в многочлен.

$7^{3} + 3 \cdot 7^{2} - 93 \cdot 7 + 161$

Этап 3.4.2.1.3.2

Возведем $7$ в степень $3$ .

$343 + 3 \cdot 7^{2} - 93 \cdot 7 + 161$

Этап 3.4.2.1.3.3

Возведем $7$ в степень $2$ .

$343 + 3 \cdot 49 - 93 \cdot 7 + 161$

Этап 3.4.2.1.3.4

Умножим $3$ на $49$ .

$343 + 147 - 93 \cdot 7 + 161$

Этап 3.4.2.1.3.5

Добавим $343$ и $147$ .

$490 - 93 \cdot 7 + 161$

Этап 3.4.2.1.3.6

Умножим $- 93$ на $7$ .

$490 - 651 + 161$

Этап 3.4.2.1.3.7

Вычтем $651$ из $490$ .

$- 161 + 161$

Этап 3.4.2.1.3.8

Добавим $- 161$ и $161$ .

$0$

Этап 3.4.2.1.4

Поскольку $7$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 7$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 93 x + 161}{x - 7}$

Этап 3.4.2.1.5

Разделим $x^{3} + 3 x^{2} - 93 x + 161$ на $x - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.5.1

$x$

$7$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$93 x$

$161$

Этап 3.4.2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$

Этап 3.4.2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			+	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$

Этап 3.4.2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 7 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$

Этап 3.4.2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$

Этап 3.4.2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$93 x$

Этап 3.4.2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $10 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$93 x$

Этап 3.4.2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$93 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$70 x$

Этап 3.4.2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $10 x^{2} - 70 x$ .

				$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$93 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$70 x$

Этап 3.4.2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$93 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$70 x$
							-	$23 x$

Этап 3.4.2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$93 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$70 x$
							-	$23 x$	+	$161$

Этап 3.4.2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 23 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$10 x$	-	$23$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$93 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$70 x$
							-	$23 x$	+	$161$

Этап 3.4.2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$10 x$	-	$23$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$93 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$70 x$
							-	$23 x$	+	$161$
							-	$23 x$	+	$161$

Этап 3.4.2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 23 x + 161$ .

				$x^{2}$	+	$10 x$	-	$23$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$93 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$70 x$
							-	$23 x$	+	$161$
							+	$23 x$	-	$161$

Этап 3.4.2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$10 x$	-	$23$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$93 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$70 x$
							-	$23 x$	+	$161$
							+	$23 x$	-	$161$
										$0$

Этап 3.4.2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + 10 x - 23$

Этап 3.4.2.1.6

Запишем $x^{3} + 3 x^{2} - 93 x + 161$ в виде набора множителей.

$(x - 3) ((x - 7) (x^{2} + 10 x - 23)) = 0$

Этап 3.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 3) (x - 7) (x^{2} + 10 x - 23) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 7 = 0$

$x^{2} + 10 x - 23 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 3.7

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 3.7.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 3.8

Приравняем $x^{2} + 10 x - 23$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Приравняем $x^{2} + 10 x - 23$ к $0$ .

$x^{2} + 10 x - 23 = 0$

Этап 3.8.2

Решим $x^{2} + 10 x - 23 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.8.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 10$ и $c = - 23$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 23)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.1.1

Возведем $10$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot - 23}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 23$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 23}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 23$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 92}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2.3.1.3

Добавим $100$ и $92$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2.3.1.4

Перепишем $192$ в виде $8^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $64$ из $192$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2.3.1.4.2

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 10 \pm 8 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm 8 \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.8.2.3.3

Упростим $\frac{- 10 \pm 8 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 5 \pm 4 \sqrt{3}$

Этап 3.8.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 5 + 4 \sqrt{3}, - 5 - 4 \sqrt{3}$

Этап 3.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x - 7) (x^{2} + 10 x - 23) = 0$ верно.

$x = 3, 7, - 5 + 4 \sqrt{3}, - 5 - 4 \sqrt{3}$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{x^{4} - 2 x^{2} + 1} = 10 x - 22$ истинным.

$x = 3, 7$