Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{1 + 18 \sqrt{x}} = \sqrt{x} + 1$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{1 + 18 \sqrt{x}}}^{2} = {(\sqrt{x} + 1)}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + 18 \sqrt{x}}$ в виде ${(1 + 18 \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 + 18 \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{x} + 1)}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(1 + 18 \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(1 + 18 \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + 18 \sqrt{x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x} + 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(1 + 18 \sqrt{x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x} + 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(1 + 18 \sqrt{x})}^{1} = {(\sqrt{x} + 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$1 + 18 \sqrt{x} = {(\sqrt{x} + 1)}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(\sqrt{x} + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем ${(\sqrt{x} + 1)}^{2}$ в виде $(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} + 1)$ .

$1 + 18 \sqrt{x} = (\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} + 1)$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + 18 \sqrt{x} = \sqrt{x} (\sqrt{x} + 1) + 1 (\sqrt{x} + 1)$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + 18 \sqrt{x} = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 (\sqrt{x} + 1)$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + 18 \sqrt{x} = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Умножим $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1.1

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$1 + 18 \sqrt{x} = {\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.3.1.1.2

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$1 + 18 \sqrt{x} = {\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 + 18 \sqrt{x} = {\sqrt{x}}^{1 + 1} + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$1 + 18 \sqrt{x} = {\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + 18 \sqrt{x} = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + 18 \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$1 + 18 \sqrt{x} = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$1 + 18 \sqrt{x} = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$1 + 18 \sqrt{x} = x^{1} + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.3.1.2.5

Упростим.

$1 + 18 \sqrt{x} = x + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.3.1.3

Умножим $\sqrt{x}$ на $1$ .

$1 + 18 \sqrt{x} = x + \sqrt{x} + 1 \sqrt{x} + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.3.1.4

Умножим $\sqrt{x}$ на $1$ .

$1 + 18 \sqrt{x} = x + \sqrt{x} + \sqrt{x} + 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.3.1.5

Умножим $1$ на $1$ .

$1 + 18 \sqrt{x} = x + \sqrt{x} + \sqrt{x} + 1$

Этап 2.3.1.3.2

Добавим $\sqrt{x}$ и $\sqrt{x}$ .

$1 + 18 \sqrt{x} = x + 2 \sqrt{x} + 1$

Этап 3

Решим относительно $\sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $\sqrt{x}$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $2 \sqrt{x}$ из обеих частей уравнения.

$1 + 18 \sqrt{x} - 2 \sqrt{x} = x + 1$

Этап 3.1.2

Вычтем $2 \sqrt{x}$ из $18 \sqrt{x}$ .

$1 + 16 \sqrt{x} = x + 1$

Этап 3.2

Перенесем все члены без $\sqrt{x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$16 \sqrt{x} = x + 1 - 1$

Этап 3.2.2

Объединим противоположные члены в $x + 1 - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$16 \sqrt{x} = x + 0$

Этап 3.2.2.2

Добавим $x$ и $0$ .

$16 \sqrt{x} = x$

Этап 3.3

Разделим каждый член $16 \sqrt{x} = x$ на $16$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $16 \sqrt{x} = x$ на $16$ .

$\frac{16 \sqrt{x}}{16} = \frac{x}{16}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{16 \sqrt{x}}{16} = \frac{x}{16}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $\sqrt{x}$ на $1$ .

$\sqrt{x} = \frac{x}{16}$

Этап 4

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x}}^{2} = {(\frac{x}{16})}^{2}$

Этап 5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x}{16})}^{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{16})}^{2}$

Этап 5.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{16})}^{2}$

Этап 5.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(\frac{x}{16})}^{2}$

Этап 5.2.1.2

Упростим.

$x = {(\frac{x}{16})}^{2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим ${(\frac{x}{16})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Применим правило умножения к $\frac{x}{16}$ .

$x = \frac{x^{2}}{16^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Возведем $16$ в степень $2$ .

$x = \frac{x^{2}}{256}$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим обе части на $256$ .

$x \cdot 256 = \frac{x^{2}}{256} \cdot 256$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Перенесем $256$ влево от $x$ .

$256 x = \frac{x^{2}}{256} \cdot 256$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель $256$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$256 x = \frac{x^{2}}{256} \cdot 256$

Этап 6.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$256 x = x^{2}$

Этап 6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$256 x - x^{2} = 0$

Этап 6.3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$256 u - u^{2} = 0$

Этап 6.3.2.2

Вынесем множитель $u$ из $256 u - u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Вынесем множитель $u$ из $256 u$ .

$u \cdot 256 - u^{2} = 0$

Этап 6.3.2.2.2

Вынесем множитель $u$ из $- u^{2}$ .

$u \cdot 256 + u (- u) = 0$

Этап 6.3.2.2.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot 256 + u (- u)$ .

$u (256 - u) = 0$

Этап 6.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$x (256 - x) = 0$

Этап 6.3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$256 - x = 0$

Этап 6.3.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 6.3.5

Приравняем $256 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.1

Приравняем $256 - x$ к $0$ .

$256 - x = 0$

Этап 6.3.5.2

Решим $256 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.2.1

Вычтем $256$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 256$

Этап 6.3.5.2.2

Разделим каждый член $- x = - 256$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 256$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 256}{- 1}$

Этап 6.3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 256}{- 1}$

Этап 6.3.5.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 256}{- 1}$

Этап 6.3.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.2.2.3.1

Разделим $- 256$ на $- 1$ .

$x = 256$

Этап 6.3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (256 - x) = 0$ верно.

$x = 0, 256$