Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{\log (x - 4)} = \log (x - 4)$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{\log (x - 4)}}^{2} = \log^{2} (x - 4)$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\log (x - 4)}$ в виде ${\log (x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\log (x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = \log^{2} (x - 4)$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({\log (x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({\log (x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\log (x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \log^{2} (x - 4)$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${\log (x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \log^{2} (x - 4)$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\log^{1} (x - 4) = \log^{2} (x - 4)$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$\log (x - 4) = \log^{2} (x - 4)$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $\log^{2} (x - 4)$ из обеих частей уравнения.

$\log (x - 4) - \log^{2} (x - 4) = 0$

Этап 3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Пусть $u = \log (x - 4)$ . Подставим $u$ вместо $\log (x - 4)$ для всех.

$u - u^{2} = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $u$ из $u - u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$u - u^{2} = 0$

Этап 3.2.2.2

Вынесем множитель $u$ из $u^{1}$ .

$u \cdot 1 - u^{2} = 0$

Этап 3.2.2.3

Вынесем множитель $u$ из $- u^{2}$ .

$u \cdot 1 + u (- u) = 0$

Этап 3.2.2.4

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot 1 + u (- u)$ .

$u (1 - u) = 0$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\log (x - 4)$ .

$\log (x - 4) (1 - \log (x - 4)) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\log (x - 4) = 0$

$1 - \log (x - 4) = 0$

Этап 3.4

Приравняем $\log (x - 4)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $\log (x - 4)$ к $0$ .

$\log (x - 4) = 0$

Этап 3.4.2

Решим $\log (x - 4) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Перепишем $\log (x - 4) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{0} = x - 4$

Этап 3.4.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Перепишем уравнение в виде $x - 4 = 10^{0}$ .

$x - 4 = 10^{0}$

Этап 3.4.2.2.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x - 4 = 1$

Этап 3.4.2.2.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.3.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 1 + 4$

Этап 3.4.2.2.3.2

Добавим $1$ и $4$ .

$x = 5$

Этап 3.5

Приравняем $1 - \log (x - 4)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $1 - \log (x - 4)$ к $0$ .

$1 - \log (x - 4) = 0$

Этап 3.5.2

Решим $1 - \log (x - 4) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \log (x - 4) = - 1$

Этап 3.5.2.2

Разделим каждый член $- \log (x - 4) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Разделим каждый член $- \log (x - 4) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \log (x - 4)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\log (x - 4)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.5.2.2.2.2

Разделим $\log (x - 4)$ на $1$ .

$\log (x - 4) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\log (x - 4) = 1$

Этап 3.5.2.3

Перепишем $\log (x - 4) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{1} = x - 4$

Этап 3.5.2.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.4.1

Перепишем уравнение в виде $x - 4 = 10^{1}$ .

$x - 4 = 10$

Этап 3.5.2.4.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.4.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 10 + 4$

Этап 3.5.2.4.2.2

Добавим $10$ и $4$ .

$x = 14$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $\log (x - 4) (1 - \log (x - 4)) = 0$ верно.

$x = 5, 14$