Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{3 x} + \sqrt{12} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}}$

Этап 1

Умножим обе части на $\sqrt{3}$ .

$(\sqrt{3 x} + \sqrt{12}) \sqrt{3} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим $(\sqrt{3 x} + \sqrt{12}) \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.1

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$(\sqrt{3 x} + \sqrt{4 (3)}) \sqrt{3} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Этап 2.1.1.1.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$(\sqrt{3 x} + \sqrt{2^{2} \cdot 3}) \sqrt{3} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Этап 2.1.1.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$(\sqrt{3 x} + 2 \sqrt{3}) \sqrt{3} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Этап 2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{3 x} \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} \sqrt{3} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Этап 2.1.1.3

Умножим $\sqrt{3 x} \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sqrt{3 x \cdot 3} + 2 \sqrt{3} \sqrt{3} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Этап 2.1.1.3.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\sqrt{9 x} + 2 \sqrt{3} \sqrt{3} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Этап 2.1.1.4

Умножим $2 \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.1

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\sqrt{9 x} + 2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Этап 2.1.1.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\sqrt{9 x} + 2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Этап 2.1.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt{9 x} + 2 {\sqrt{3}}^{1 + 1} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Этап 2.1.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt{9 x} + 2 {\sqrt{3}}^{2} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Этап 2.1.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.5.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2} x} + 2 {\sqrt{3}}^{2} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Этап 2.1.1.5.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$3 \sqrt{x} + 2 {\sqrt{3}}^{2} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Этап 2.1.1.5.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.5.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \sqrt{x} + 2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Этап 2.1.1.5.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \sqrt{x} + 2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Этап 2.1.1.5.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$3 \sqrt{x} + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Этап 2.1.1.5.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$3 \sqrt{x} + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Этап 2.1.1.5.3.4.2

Перепишем это выражение.

$3 \sqrt{x} + 2 \cdot 3^{1} = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Этап 2.1.1.5.3.5

Найдем экспоненту.

$3 \sqrt{x} + 2 \cdot 3 = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Этап 2.1.1.5.4

Умножим $2$ на $3$ .

$3 \sqrt{x} + 6 = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$3 \sqrt{x} + 6 = \frac{x + 7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$3 \sqrt{x} + 6 = x + 7$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены без $3 \sqrt{x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$3 \sqrt{x} = x + 7 - 6$

Этап 3.1.2

Вычтем $6$ из $7$ .

$3 \sqrt{x} = x + 1$

Этап 3.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(3 \sqrt{x})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Применим правило умножения к $3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$9 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Этап 3.3.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 1)}^{2}$

Этап 3.3.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 1)}^{2}$

Этап 3.3.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$9 x^{1} = {(x + 1)}^{2}$

Этап 3.3.2.1.4

Упростим.

$9 x = {(x + 1)}^{2}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим ${(x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Перепишем ${(x + 1)}^{2}$ в виде $(x + 1) (x + 1)$ .

$9 x = (x + 1) (x + 1)$

Этап 3.3.3.1.2

Развернем $(x + 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x = x (x + 1) + 1 (x + 1)$

Этап 3.3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

Этап 3.3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Этап 3.3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$9 x = x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Этап 3.3.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$9 x = x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

Этап 3.3.3.1.3.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$9 x = x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

Этап 3.3.3.1.3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$9 x = x^{2} + x + x + 1$

Этап 3.3.3.1.3.2

Добавим $x$ и $x$ .

$9 x = x^{2} + 2 x + 1$

Этап 3.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} + 2 x + 1 = 9 x$

Этап 3.4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вычтем $9 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 2 x + 1 - 9 x = 0$

Этап 3.4.2.2

Вычтем $9 x$ из $2 x$ .

$x^{2} - 7 x + 1 = 0$

Этап 3.4.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.4.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 7$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1.1

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.5.1.3

Вычтем $4$ из $49$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{45}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.5.1.4

Перепишем $45$ в виде $3^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1.4.1

Вынесем множитель $9$ из $45$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{9 (5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.5.1.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{7 \pm 3 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{7 \pm 3 \sqrt{5}}{2}$

Этап 3.4.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{7 + 3 \sqrt{5}}{2}, \frac{7 - 3 \sqrt{5}}{2}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{7 + 3 \sqrt{5}}{2}, \frac{7 - 3 \sqrt{5}}{2}$

Десятичная форма:

$x = 6.85410196 \dots, 0.14589803 \dots$