Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{3} \tan (x - \frac{π}{9}) - 1 = 0$

Этап 1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{3} \tan (x - \frac{π}{9}) = 1$

Этап 2

Разделим каждый член $\sqrt{3} \tan (x - \frac{π}{9}) = 1$ на $\sqrt{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $\sqrt{3} \tan (x - \frac{π}{9}) = 1$ на $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \tan (x - \frac{π}{9})}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3} \tan (x - \frac{π}{9})}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $\tan (x - \frac{π}{9})$ на $1$ .

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 2.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 2.3.2.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 2.3.2.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 2.3.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 2.3.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 2.3.2.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.3.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.3.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 2.3.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\tan (x - \frac{π}{9}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 3

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x - \frac{π}{9} = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ : $\frac{π}{6}$ .

$x - \frac{π}{9} = \frac{π}{6}$

Этап 5

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $\frac{π}{9}$ к обеим частям уравнения.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π}{9}$

Этап 5.2

Чтобы записать $\frac{π}{6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{9}$

Этап 5.3

Чтобы записать $\frac{π}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{9} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 5.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $18$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $\frac{π}{6}$ на $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{6 \cdot 3} + \frac{π}{9} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 5.4.2

Умножим $6$ на $3$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{18} + \frac{π}{9} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 5.4.3

Умножим $\frac{π}{9}$ на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{18} + \frac{π \cdot 2}{9 \cdot 2}$

Этап 5.4.4

Умножим $9$ на $2$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{18} + \frac{π \cdot 2}{18}$

Этап 5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 3 + π \cdot 2}{18}$

Этап 5.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π \cdot 2}{18}$

Этап 5.6.2

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{3 π + 2 \cdot π}{18}$

Этап 5.6.3

Добавим $3 π$ и $2 π$ .

$x = \frac{5 π}{18}$

Этап 6

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x - \frac{π}{9} = π + \frac{π}{6}$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим $π + \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x - \frac{π}{9} = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Этап 7.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x - \frac{π}{9} = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Этап 7.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x - \frac{π}{9} = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Этап 7.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$x - \frac{π}{9} = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Этап 7.1.3.2

Добавим $6 π$ и $π$ .

$x - \frac{π}{9} = \frac{7 π}{6}$

Этап 7.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $\frac{π}{9}$ к обеим частям уравнения.

$x = \frac{7 π}{6} + \frac{π}{9}$

Этап 7.2.2

Чтобы записать $\frac{7 π}{6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{9}$

Этап 7.2.3

Чтобы записать $\frac{π}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{9} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 7.2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $18$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Умножим $\frac{7 π}{6}$ на $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{7 π \cdot 3}{6 \cdot 3} + \frac{π}{9} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 7.2.4.2

Умножим $6$ на $3$ .

$x = \frac{7 π \cdot 3}{18} + \frac{π}{9} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 7.2.4.3

Умножим $\frac{π}{9}$ на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{7 π \cdot 3}{18} + \frac{π \cdot 2}{9 \cdot 2}$

Этап 7.2.4.4

Умножим $9$ на $2$ .

$x = \frac{7 π \cdot 3}{18} + \frac{π \cdot 2}{18}$

Этап 7.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{7 π \cdot 3 + π \cdot 2}{18}$

Этап 7.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1

Умножим $3$ на $7$ .

$x = \frac{21 π + π \cdot 2}{18}$

Этап 7.2.6.2

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{21 π + 2 \cdot π}{18}$

Этап 7.2.6.3

Добавим $21 π$ и $2 π$ .

$x = \frac{23 π}{18}$

Этап 8

Найдем период $\tan (x - \frac{π}{9})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 8.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 8.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 9

Период функции $\tan (x - \frac{π}{9})$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{5 π}{18} + π n, \frac{23 π}{18} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Объединим ответы.

$x = \frac{5 π}{18} + π n$ , для любого целого $n$