Основы мат. анализа Примеры

$\sec^{2} (x) - 8 \sec (x) = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \sec (x)$ . Подставим $u$ вместо $\sec (x)$ для всех.

$u^{2} - 8 u = 0$

Этап 1.2

Вынесем множитель $u$ из $u^{2} - 8 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $u$ из $u^{2}$ .

$u \cdot u - 8 u = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $u$ из $- 8 u$ .

$u \cdot u + u \cdot - 8 = 0$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot u + u \cdot - 8$ .

$u (u - 8) = 0$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$\sec (x) (\sec (x) - 8) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sec (x) = 0$

$\sec (x) - 8 = 0$

Этап 3

Приравняем $\sec (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\sec (x)$ к $0$ .

$\sec (x) = 0$

Этап 3.2

Множество значений секанса: $y \leq - 1$ и $y \geq 1$ . Поскольку $0$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 4

Приравняем $\sec (x) - 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\sec (x) - 8$ к $0$ .

$\sec (x) - 8 = 0$

Этап 4.2

Решим $\sec (x) - 8 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$\sec (x) = 8$

Этап 4.2.2

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (8)$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Найдем значение $arcsec (8)$ .

$x = 1.44546849$

Этап 4.2.4

Функция секанса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 (3.14159265) - 1.44546849$

Этап 4.2.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Избавимся от скобок.

$x = 2 (3.14159265) - 1.44546849$

Этап 4.2.5.2

Упростим $2 (3.14159265) - 1.44546849$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.44546849$

Этап 4.2.5.2.2

Вычтем $1.44546849$ из $6.2831853$ .

$x = 4.83771681$

Этап 4.2.6

Найдем период $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.2.7

Период функции $\sec (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.44546849 + 2 π n, 4.83771681 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $\sec (x) (\sec (x) - 8) = 0$ верно.

$x = 1.44546849 + 2 π n, 4.83771681 + 2 π n$ , для любого целого $n$