Основы мат. анализа Примеры

$\sec^{2} (x) = \sec (x) + 2$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $\sec (x)$ из обеих частей уравнения.

$\sec^{2} (x) - \sec (x) = 2$

Этап 1.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\sec^{2} (x) - \sec (x) - 2 = 0$

Этап 2

Разложим $\sec^{2} (x) - \sec (x) - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $- 1$ .

$- 2, 1$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(\sec (x) - 2) (\sec (x) + 1) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sec (x) - 2 = 0$

$\sec (x) + 1 = 0$

Этап 4

Приравняем $\sec (x) - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\sec (x) - 2$ к $0$ .

$\sec (x) - 2 = 0$

Этап 4.2

Решим $\sec (x) - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$\sec (x) = 2$

Этап 4.2.2

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (2)$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Точное значение $arcsec (2)$ : $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 4.2.4

Функция секанса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 4.2.5

Упростим $2 π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 4.2.5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 4.2.5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 4.2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Этап 4.2.5.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 4.2.6

Найдем период $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.2.7

Период функции $\sec (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Приравняем $\sec (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\sec (x) + 1$ к $0$ .

$\sec (x) + 1 = 0$

Этап 5.2

Решим $\sec (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sec (x) = - 1$

Этап 5.2.2

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (- 1)$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Точное значение $arcsec (- 1)$ : $π$ .

$x = π$

Этап 5.2.4

Функция секанса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - π$

Этап 5.2.5

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = π$

Этап 5.2.6

Найдем период $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.7

Период функции $\sec (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(\sec (x) - 2) (\sec (x) + 1) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$