Основы мат. анализа Примеры

$\log_{x} (256) = - \frac{4}{5}$

Этап 1

Перепишем $\log_{x} (256) = - \frac{4}{5}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$x^{- \frac{4}{5}} = 256$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возведем обе части уравнения в степень $- \frac{5}{4}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{- \frac{4}{5}})}^{- \frac{5}{4}} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Этап 2.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим ${(x^{- \frac{4}{5}})}^{- \frac{5}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{- \frac{4}{5}})}^{- \frac{5}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{- \frac{4}{5} (- \frac{5}{4})} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Этап 2.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{5}$ в числитель.

$x^{\frac{- 4}{5} (- \frac{5}{4})} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Этап 2.2.1.1.1.2.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{4}$ в числитель.

$x^{\frac{- 4}{5} \cdot \frac{- 5}{4}} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Этап 2.2.1.1.1.2.3

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$x^{\frac{4 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5}{4}} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Этап 2.2.1.1.1.2.4

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{4 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5}{4}} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Этап 2.2.1.1.1.2.5

Перепишем это выражение.

$x^{\frac{- 1}{5} \cdot - 5} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Этап 2.2.1.1.1.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1.3.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$x^{\frac{- 1}{5} \cdot (5 (- 1))} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Этап 2.2.1.1.1.3.2

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{- 1}{5} \cdot (5 \cdot - 1)} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Этап 2.2.1.1.1.3.3

Перепишем это выражение.

$x^{- - 1} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Этап 2.2.1.1.1.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{1} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Этап 2.2.1.1.2

Упростим.

$x = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Этап 2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим $\pm 256^{- \frac{5}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \pm \frac{1}{256^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.2.2.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.2.1

Перепишем $256$ в виде $4^{4}$ .

$x = \pm \frac{1}{{(4^{4})}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.2.2.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{1}{4^{4 (\frac{5}{4})}}$

Этап 2.2.2.1.2.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{1}{4^{4 (\frac{5}{4})}}$

Этап 2.2.2.1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{1}{4^{5}}$

Этап 2.2.2.1.2.4

Возведем $4$ в степень $5$ .

$x = \pm \frac{1}{1024}$

Этап 2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{1}{1024}$

Этап 2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{1}{1024}$

Этап 2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{1}{1024}, - \frac{1}{1024}$

Этап 3

Исключим решения, которые не делают $\log_{x} (256) = - \frac{4}{5}$ истинным.

$x = \frac{1}{1024}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{1}{1024}$

Десятичная форма:

$x = 0.00097656 \dots$