Основы мат. анализа Примеры

$2 x^{- 4} - 8 x^{- 2} + 2 = 0$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{x^{4}} - 8 x^{- 2} + 2 = 0$

Этап 1.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{2}{x^{4}} - 8 x^{- 2} + 2 = 0$

Этап 1.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{x^{4}} - 8 \frac{1}{x^{2}} + 2 = 0$

Этап 1.4

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{4}} + \frac{- 8}{x^{2}} + 2 = 0$

Этап 1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{x^{4}} - \frac{8}{x^{2}} + 2 = 0$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{4}, x^{2}, 1, 1$

Этап 2.2

Since $x^{4}, x^{2}, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{4}, x^{2}$ .

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.5

НОК $1, 1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.6

Множители $x^{4}$ — $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $4$ раз.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ встречается $4$ раз.

Этап 2.7

Множители $x^{2}$ — $x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ встречается $2$ раз.

Этап 2.8

НОК $x^{4}, x^{2}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x \cdot x \cdot x \cdot x$

Этап 2.9

Упростим $x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x$

Этап 2.9.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x$

Этап 2.9.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2 + 1} \cdot x$

Этап 2.9.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$x^{3} \cdot x$

Этап 2.9.3

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.3.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1}$

Этап 2.9.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{3 + 1}$

Этап 2.9.3.2

Добавим $3$ и $1$ .

$x^{4}$

Этап 3

Каждый член в $\frac{2}{x^{4}} - \frac{8}{x^{2}} + 2 = 0$ умножим на $x^{4}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{2}{x^{4}} - \frac{8}{x^{2}} + 2 = 0$ на $x^{4}$ .

$\frac{2}{x^{4}} x^{4} - \frac{8}{x^{2}} x^{4} + 2 x^{4} = 0 x^{4}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{x^{4}} x^{4} - \frac{8}{x^{2}} x^{4} + 2 x^{4} = 0 x^{4}$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 - \frac{8}{x^{2}} x^{4} + 2 x^{4} = 0 x^{4}$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{8}{x^{2}}$ в числитель.

$2 + \frac{- 8}{x^{2}} x^{4} + 2 x^{4} = 0 x^{4}$

Этап 3.2.1.2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$2 + \frac{- 8}{x^{2}} (x^{2} x^{2}) + 2 x^{4} = 0 x^{4}$

Этап 3.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$2 + \frac{- 8}{x^{2}} (x^{2} x^{2}) + 2 x^{4} = 0 x^{4}$

Этап 3.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$2 - 8 x^{2} + 2 x^{4} = 0 x^{4}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $0$ на $x^{4}$ .

$2 - 8 x^{2} + 2 x^{4} = 0$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$2 u^{2} - 8 u + 2 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 4.2

Вынесем множитель $2$ из $2 u^{2} - 8 u + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 u^{2}$ .

$2 (u^{2}) - 8 u + 2 = 0$

Этап 4.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 8 u$ .

$2 (u^{2}) + 2 (- 4 u) + 2 = 0$

Этап 4.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 (u^{2}) + 2 (- 4 u) + 2 (1) = 0$

Этап 4.2.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (u^{2}) + 2 (- 4 u)$ .

$2 (u^{2} - 4 u) + 2 (1) = 0$

Этап 4.2.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (u^{2} - 4 u) + 2 (1)$ .

$2 (u^{2} - 4 u + 1) = 0$

Этап 4.3

Разделим каждый член $2 (u^{2} - 4 u + 1) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим каждый член $2 (u^{2} - 4 u + 1) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (u^{2} - 4 u + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (u^{2} - 4 u + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 4.3.2.1.2

Разделим $u^{2} - 4 u + 1$ на $1$ .

$u^{2} - 4 u + 1 = \frac{0}{2}$

Этап 4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$u^{2} - 4 u + 1 = 0$

Этап 4.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.5

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 4$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.1.3

Вычтем $4$ из $16$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.6.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$u = 2 \pm \sqrt{3}$

Этап 4.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Этап 4.8

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = 3.7320508$

${(x^{2})}^{1} = 0.26794919$

Этап 4.9

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 3.7320508$

Этап 4.10

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3.7320508}$

Этап 4.10.2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{3.7320508}$

Этап 4.10.2.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{3.7320508}$

Этап 4.10.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{3.7320508}, - \sqrt{3.7320508}$

Этап 4.11

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 0.26794919$

Этап 4.12

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = 0.26794919$

Этап 4.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0.26794919}$

Этап 4.12.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{0.26794919}$

Этап 4.12.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{0.26794919}$

Этап 4.12.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{0.26794919}, - \sqrt{0.26794919}$

Этап 4.13

Решением $2 x^{4} - 8 x^{2} + 2 = 0$ является $x = \sqrt{3.7320508}, - \sqrt{3.7320508}, \sqrt{0.26794919}, - \sqrt{0.26794919}$ .

$x = \sqrt{3.7320508}, - \sqrt{3.7320508}, \sqrt{0.26794919}, - \sqrt{0.26794919}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \sqrt{3.7320508}, - \sqrt{3.7320508}, \sqrt{0.26794919}, - \sqrt{0.26794919}$

Десятичная форма:

$x = 1.93185165 \dots, - 1.93185165 \dots, 0.51763809 \dots, - 0.51763809 \dots$