Основы мат. анализа Примеры

$\log_{x} (\frac{1}{4}) = - \frac{2}{3}$

Этап 1

Перепишем $\log_{x} (\frac{1}{4}) = - \frac{2}{3}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$x^{- \frac{2}{3}} = \frac{1}{4}$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{4}$

Этап 2.2

Умножим числитель первой дроби на знаменатель второй дроби. Приравняем результат к произведению знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.

$1 \cdot 4 = x^{\frac{2}{3}} \cdot 1$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем уравнение в виде $x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 = 1 \cdot 4$ .

$x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 = 1 \cdot 4$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $x^{\frac{2}{3}}$ на $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} = 1 \cdot 4$

Этап 2.3.2.2

Умножим $4$ на $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} = 4$

Этап 2.3.3

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{3}{2}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 2.3.4

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1

Упростим ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 2.3.4.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 2.3.4.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 2.3.4.1.1.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 2.3.4.1.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 2.3.4.1.1.2

Упростим.

$x = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 2.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Упростим $\pm 4^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 2.3.4.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Этап 2.3.4.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Этап 2.3.4.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm 2^{3}$

Этап 2.3.4.2.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$x = \pm 8$

Этап 2.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 8$

Этап 2.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 8$

Этап 2.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 8, - 8$

Этап 3

Исключим решения, которые не делают $\log_{x} (\frac{1}{4}) = - \frac{2}{3}$ истинным.

$x = 8$