Основы мат. анализа Примеры

$\log_{6} (x + 5) + \log_{6} (x + 4) = 2$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{6} ((x + 5) (x + 4)) = 2$

Этап 1.2

Развернем $(x + 5) (x + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{6} (x (x + 4) + 5 (x + 4)) = 2$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{6} (x \cdot x + x \cdot 4 + 5 (x + 4)) = 2$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{6} (x \cdot x + x \cdot 4 + 5 x + 5 \cdot 4) = 2$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{6} (x^{2} + x \cdot 4 + 5 x + 5 \cdot 4) = 2$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$\log_{6} (x^{2} + 4 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 4) = 2$

Этап 1.3.1.3

Умножим $5$ на $4$ .

$\log_{6} (x^{2} + 4 x + 5 x + 20) = 2$

Этап 1.3.2

Добавим $4 x$ и $5 x$ .

$\log_{6} (x^{2} + 9 x + 20) = 2$

Этап 2

Перепишем $\log_{6} (x^{2} + 9 x + 20) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$6^{2} = x^{2} + 9 x + 20$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} + 9 x + 20 = 6^{2}$ .

$x^{2} + 9 x + 20 = 6^{2}$

Этап 3.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$x^{2} + 9 x + 20 = 36$

Этап 3.3

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $36$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 9 x + 20 - 36 = 0$

Этап 3.3.2

Вычтем $36$ из $20$ .

$x^{2} + 9 x - 16 = 0$

Этап 3.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.5

Подставим значения $a = 1$ , $b = 9$ и $c = - 16$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 16)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 16$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.3

Добавим $81$ и $64$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{145}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{145}}{2}$

Этап 3.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{9 - \sqrt{145}}{2}, - \frac{9 + \sqrt{145}}{2}$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log_{6} (x + 5) + \log_{6} (x + 4) = 2$ истинным.

$x = - \frac{9 - \sqrt{145}}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{9 - \sqrt{145}}{2}$

Десятичная форма:

$x = 1.52079728 \dots$