Основы мат. анализа Примеры

$\log_{5} (x + 9) - \log_{5} (x - 1) = 2$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{x + 9}{x - 1}) = 2$

Этап 2

Перепишем $\log_{5} (\frac{x + 9}{x - 1}) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$5^{2} = \frac{x + 9}{x - 1}$

Этап 3

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$x + 9 = 5^{2} (x - 1)$

Этап 4

Упростим $5^{2} (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$x + 9 = 25 (x - 1)$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 9 = 25 x + 25 \cdot - 1$

Этап 4.3

Умножим $25$ на $- 1$ .

$x + 9 = 25 x - 25$

Этап 5

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $25 x$ из обеих частей уравнения.

$x + 9 - 25 x = - 25$

Этап 5.2

Вычтем $25 x$ из $x$ .

$- 24 x + 9 = - 25$

Этап 6

Вынесем множитель $3$ из $- 24 x + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $3$ из $- 24 x$ .

$3 (- 8 x) + 9 = - 25$

Этап 6.2

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$3 (- 8 x) + 3 (3) = - 25$

Этап 6.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (- 8 x) + 3 (3)$ .

$3 (- 8 x + 3) = - 25$

Этап 7

Разделим каждый член $3 (- 8 x + 3) = - 25$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $3 (- 8 x + 3) = - 25$ на $3$ .

$\frac{3 (- 8 x + 3)}{3} = \frac{- 25}{3}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (- 8 x + 3)}{3} = \frac{- 25}{3}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $- 8 x + 3$ на $1$ .

$- 8 x + 3 = \frac{- 25}{3}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 8 x + 3 = - \frac{25}{3}$

Этап 8

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- 8 x = - \frac{25}{3} - 3$

Этап 8.2

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- 8 x = - \frac{25}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 8.3

Объединим $- 3$ и $\frac{3}{3}$ .

$- 8 x = - \frac{25}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3}$

Этап 8.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 8 x = \frac{- 25 - 3 \cdot 3}{3}$

Этап 8.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Умножим $- 3$ на $3$ .

$- 8 x = \frac{- 25 - 9}{3}$

Этап 8.5.2

Вычтем $9$ из $- 25$ .

$- 8 x = \frac{- 34}{3}$

Этап 8.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 8 x = - \frac{34}{3}$

Этап 9

Разделим каждый член $- 8 x = - \frac{34}{3}$ на $- 8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разделим каждый член $- 8 x = - \frac{34}{3}$ на $- 8$ .

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- \frac{34}{3}}{- 8}$

Этап 9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель $- 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- \frac{34}{3}}{- 8}$

Этап 9.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{34}{3}}{- 8}$

Этап 9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{34}{3} \cdot \frac{1}{- 8}$

Этап 9.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{34}{3}$ в числитель.

$x = \frac{- 34}{3} \cdot \frac{1}{- 8}$

Этап 9.3.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 34$ .

$x = \frac{2 (- 17)}{3} \cdot \frac{1}{- 8}$

Этап 9.3.2.3

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$x = \frac{2 \cdot - 17}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 4}$

Этап 9.3.2.4

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot - 17}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 4}$

Этап 9.3.2.5

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- 17}{3} \cdot \frac{1}{- 4}$

Этап 9.3.3

Умножим $\frac{- 17}{3}$ на $\frac{1}{- 4}$ .

$x = \frac{- 17}{3 \cdot - 4}$

Этап 9.3.4

Умножим $3$ на $- 4$ .

$x = \frac{- 17}{- 12}$

Этап 9.3.5

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{17}{12}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{17}{12}$

Десятичная форма:

$x = 1.41\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$x = 1 \frac{5}{12}$