Основы мат. анализа Примеры

$\log_{5} (x - 2) = 1 - \log_{5} (x + 2)$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\log_{5} (x - 2) + \log_{5} (x + 2) = 1$

Этап 2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x - 2) (x + 2)) = 1$

Этап 3

Развернем $(x - 2) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{5} (x (x + 2) - 2 (x + 2)) = 1$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 (x + 2)) = 1$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2) = 1$

Этап 4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot 2$ и $- 2 x$ .

$\log_{5} (x \cdot x + 2 x - 2 x - 2 \cdot 2) = 1$

Этап 4.1.2

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$\log_{5} (x \cdot x + 0 - 2 \cdot 2) = 1$

Этап 4.1.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$\log_{5} (x \cdot x - 2 \cdot 2) = 1$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{5} (x^{2} - 2 \cdot 2) = 1$

Этап 4.2.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\log_{5} (x^{2} - 4) = 1$

Этап 5

Перепишем $\log_{5} (x^{2} - 4) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$5^{1} = x^{2} - 4$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} - 4 = 5^{1}$ .

$x^{2} - 4 = 5$

Этап 6.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 5 + 4$

Этап 6.2.2

Добавим $5$ и $4$ .

$x^{2} = 9$

Этап 6.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Этап 6.4

Упростим $\pm \sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Этап 6.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 3$

Этап 6.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3$

Этап 6.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3$

Этап 6.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3, - 3$

Этап 7

Исключим решения, которые не делают $\log_{5} (x - 2) = 1 - \log_{5} (x + 2)$ истинным.

$x = 3$