Основы мат. анализа Примеры

$\log_{2} (x - 6) = 5 - \log_{2} (2 x)$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\log_{2} (x - 6) + \log_{2} (2 x) = 5$

Этап 2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} ((x - 6) (2 x)) = 5$

Этап 3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{2} (x (2 x) - 6 (2 x)) = 5$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\log_{2} (2 x \cdot x - 6 (2 x)) = 5$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $- 6$ .

$\log_{2} (2 x \cdot x - 12 x) = 5$

Этап 5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем $x$ .

$\log_{2} (2 (x \cdot x) - 12 x) = 5$

Этап 5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{2} (2 x^{2} - 12 x) = 5$

Этап 6

Перепишем $\log_{2} (2 x^{2} - 12 x) = 5$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$2^{5} = 2 x^{2} - 12 x$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем уравнение в виде $2 x^{2} - 12 x = 2^{5}$ .

$2 x^{2} - 12 x = 2^{5}$

Этап 7.2

Возведем $2$ в степень $5$ .

$2 x^{2} - 12 x = 32$

Этап 7.3

Вычтем $32$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - 12 x - 32 = 0$

Этап 7.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} - 12 x - 32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) - 12 x - 32 = 0$

Этап 7.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 12 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- 6 x) - 32 = 0$

Этап 7.4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 32$ .

$2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 16 = 0$

Этап 7.4.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 2 (- 6 x)$ .

$2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 16 = 0$

Этап 7.4.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 16$ .

$2 (x^{2} - 6 x - 16) = 0$

Этап 7.4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Разложим $x^{2} - 6 x - 16$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 16$ , а сумма — $- 6$ .

$- 8, 2$

Этап 7.4.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$2 ((x - 8) (x + 2)) = 0$

Этап 7.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (x - 8) (x + 2) = 0$

Этап 7.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 8 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 7.6

Приравняем $x - 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Приравняем $x - 8$ к $0$ .

$x - 8 = 0$

Этап 7.6.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$

Этап 7.7

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 7.7.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 7.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (x - 8) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 8, - 2$

Этап 8

Исключим решения, которые не делают $\log_{2} (x - 6) = 5 - \log_{2} (2 x)$ истинным.

$x = 8$